3i6 STUDI INTORNO AI CASI d' INTEGRAZIONE ECC. 



di M^ , e generalmente a-H7i in quello di m„ ; onde potremo stabilire 



h K 



11=1-, r--t- , U^=- vT7-t- , 



{x — af {x — af^' 



-1- , "3=T- :wr,-t- , 



"'^— (^ _ ay^^ ^ ' '~(x— ay^ 



ecc. , 

 intendendo con A, , h^ , h^ , . . . coefficienti costanti positivi o negativi 

 che potranno anche esser nulli , e sostituendo nelle mentovate equazioni , 



otterremo 



— ah=:h^ , 



— (ex-i- i)h, = Jì^h-i-h^ , 



/21) _ J — («-+-3)/^3 =A.Z(r — 2)K-irh^ , 



\-^{oi.'\-n)h„-=A. n{r — ?i-Hi)A„_,-+-A„+, , 



sistema di r-+-2 equazioni a cui dovrà soddisfare l'esponente a intero 

 e positivo. La prima equazione darà — = — a , la seconda poi darà -7-' 



espresso per a da un polinomio di secondo grado , la terza darà -j- 

 espresso da un polinomio di terzo grado , e così via via fino alla pe- 

 nultima che darà per '/*"' un polinomio del grado r-t-i , onde egua- 

 gliando a zero per Fidtima questo polinomio, si avrà un'equazione di 

 grado 7"-+-i che dovrà determinare a. 



Un caso particolare guida alla risoluzione di questa equazione , 

 risoluzione dovuta pure al signor Liouville (*). Prendiamo a = o e sup- 

 poniamo che P si riduca al termine —^■. per integrare l'equazione (i3) 

 faremo jz=x—^, essendo una costante da determinarsi, e ne trarremo 



Q(Q-hi) = J , 

 equazione che darà due valori di Q ; onde chiamati p , y questi due 



(') Journal de Math. 1840, pag. 445-447. 



