DI ANGELO GENOCCHI Sl^ 



valori , avremo i due integrali distinti 



e ne risulterà (num. 3) l'integrale completo della £/^=o che sarà 



D altra parte, ponendo ìì:=— , ;t,= ^^^ , ecc., si troveranno ancora 



le stesse equazioni (21) ; che pei'ò dovranno essere soddisfatte prendendo 

 per a uno qualsivoglia degli esponenti 



?r , i3(^'— O+V . /3(r— 2)-F27 , ' 



p-l-7(r — i) , -ir : 



questi r-l-i valori saranno dunque le radici della indicata equazione. 

 Sarà pertanto a:^j3(r — ri)-+-Jiy , se n si eguagli ad alcuno dei 



numeri 0,1,3, /• ; e a causa dell'equazione 9(^-+-i) = ^ si avrà 



pure p-|-y= — i, talché avremo 



a-t-ra 



7=- 



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Se a è un numero intero positivo, ^ e y saranno due numeri commen- 

 surabili , l'uno positivo e l'altro negativo. Supposto |3 positivo e presolo 

 per Q, avremo ^ = |3((3-}-i) prodotto di due numeri positivi commen- 

 surabili che differiscono dell'unità. Si può aggiungere che se /3 non è 

 un numero intero, l' indice r dovrà essere eguale o superiore al deno- 

 minatore di j3 ed eccedere qualche suo multiplo d'un numero pari ■in. 



Dalle cose fin qui considerate si hanno dimostrate le proposizioni 

 seguenti : 



i.° Se nella equazione (i3) la funzione P è un polinomio intero, 

 nessun integrale u dell'equazione f/^:=:o è razionale. 



2.° Se P è una frazione razionale con parte intera non costante , 

 u quando sia razionale non avrà parte intera. 



3.° Se P è una frazione razionale con parte intera costante, u quando 

 sia razionale non ha parte intera o 1' ha costante. 



4.° Se P è una frazione razionale, non può u, quando sia razionale, 

 aver per fattori del suo denominatore quei fattori lineari del denomi- 



