3l8 STODI INTORNO AI CASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



natore di P, che in questo denominatore sono elevati a potenza diversa 

 dalla seconda. 



5.° Sia X — a un fattore che nel denominatore di P sia elevato alla 



seconda potenza, e spezzato P in frazioni semplici, sia ^ la 



frazione il cui denominatore contiene x — a col massimo esponente. 

 Quando u sia razionale , il denominatore di u non sarà divisibile per 

 X — a, se la costante A non è un numero della forma p(P-t-i), 

 dove /3 indica una frazione commensurabile positiva. 



Da queste proposizioni si può già dedurre che l'equazione (i3) non 

 ammette integrale algebrico quando P è un polinomio intero e quando P 

 è una frazione razionale accompagnata da una parte intera non nulla , 

 variabile o costante , e avente un denominatore composto di fattori 

 lineari elevati a potenze diverse dalla seconda, oppure tale che non 



somministri alcuna frazione semplice della forma ^7-^ r/ , essendo x — a' 



^ (x — a) 



uno dei fattori lineari elevati alla seconda potenza nel denominatore 

 di P, e |3 un numero positivo commensurabile. 



8. Occorre anche esaminare il caso in cui essendo P una frazione 

 razionale, il grado del denominatore superi d'una o due unità quello del 

 numeratore: cerchiamo se allora u possa essere una funzione razionale 

 con parte intera variabile. 



Sia come dianzi hx" il termine più elevato di questa parte intera, 

 e quindi (x.hx'^~' il termine più elevato di u,. 



Sia — j il grado di P, cioè la differenza tra i gradi del numeratore 

 e del denominatoi-e di P: potremo scrivere 



X ■+-. . . X 



ove Q sarà una frazione di grado non superiore a — 2 e A una costante 

 non nulla. Per la (i5) il termine più elevato di ;<j sarà — vAhx"'', 



e fatto 



^^^a, iJ.^ = r , f;.3=(a— i),a,-H2(7^— i)p., , 



il termine più elevato di u, sarà per la (16) — [x^Alix'-''' ■, e general- 

 mente finché « sarà > ^ il termine più elevato di u^^ sarà 



e quello di u^g+, sarà 



