320 STUDI INTORNO AI CASI D INTEGRAZIONE ECC. 



a — 3 , , e quindi poti'emo fare UT=hx°'-\-. . . , u,=:h^x'~'-+- . . . , 



u^z=h^x''~''-{- . ■ . , M3=^3X"~^-t-. . . , ecc., ammesso che i coefficienti 

 h^ , h^ , . . . possano anche ridursi a zero. Sostituendo queste espressióni 

 nelle equazioni (i4);> (i^), (i6), ecc., e rendendo identiche tali equa- 

 zioni, otterremo 



a A = A, , 



(a — i)h^'^Arh-^h^ , 



(a — 2)h^^A.^{r — 1)^,-4-^3 , 



(a — 3) h^ = ^. 3 (1- — 2) h^-^rhi, , . . ■ , 



(a — n)h,^ = A. n(r — ?i-Hi)/i„_,-t-A„+, , • • • , 



(a — r)h,. = A. r hr_,-k-hr^, , A,.^,= o , 



equazioni che si deducono dalle (21) col solo cambiare « in — tx. 

 Adunque i valori di a che possono verificarle saranno compresi nella 

 forinola 



intendendo per n uno dei numeri o , i , 2 , . . . /• , e per |3 e 7 le radici 

 dell'equazione di secondo grado 5(5-|-i) = ^. Risultando ^ + 7= — i , 



e però 



„ 11 — a n-\-OL — r 



' r — in r — in 



dovranno |3 e y essere commensuraliili e uno almeno sarà negativo. 

 Potremo dunque fare y^=|3(|3 — 1) e j3 dovrà essere positivo e com- 

 mensurabile. 



Si conchiude che u non può avere una parte intera variabile quando P 

 è del grado — i , ovvero essendo del grado — 1 non si riduce alla in- 



c |3((3 — i) ^ 



dicata torma *-^^ — r-— -t- v • 



X 



Nel caso in cui il denominatore di P ha qualche fattore lineare x — a 

 elevato alla seconda potenza , può similmente trovarsi una condizione 

 che deve adempiersi perchè u possa essere una funzione intera. Si chiami X 

 un'altra funzione intera scelta in modo che moltiplicando per X o per 

 la sua derivata una qualsivoglia delle quantità z/.„ , Pu^ si ottenga sempre 

 un prodotto intero. Ordinando tutte queste funzioni per le potenze. 

 ascendenti di x — a, poniamo u^h(x — a)"-»- . . . , X-=^K(x — àf-^- . . . , 

 e chiamato pure A' il primo termine del numeratore e A'' {x — aj il 



