322 STUDI INTORNO Al CASI d'iNTEGRAZIONF, ECC. 



cosicché risulterà di nuovo il sistema (ai) col solo cambiamento di « 

 in — a. Adunque bisognerà che la costante A sia della forma |3(/3 — i), 

 supposto |3 un numero commensurabile positivo ^ e senza di ciò la fun- 

 zione u non potrà essere intera. Se A è della forma [3(^^i)j l'espo- 

 nente a avrà uno dei valori determinati dalla formola 



« = j3(7> — 70 — "(P— l) • 



I 17^ 



Si deve notare il caso di A= r : allora S = -, a = - talché gli 



4 "22 ^ 



7'-l-i valori di a diventano tutti esuali ad -, e la funzione u se è 



2 



intera deve essere divisibile per (x — a)\ 



9. Prendiamo ora a considerare l'equazione (20), e cerchiamo come 

 se ne possano determinare gì' integrali razionali nel caso di P razionale. 

 Sia Ajif" il termine piiì elevato della parte intera di P, e hx" il termine 

 pila elevato della parte intera di v. Il termine più elevato di v' sarà A'x", 



e quello di -= — sarà ahx'^~\ onde non sussisterà l'equazione (20) se 



non sia 2a^=in , n=.A. perciò in dovrà esser pan e si avrà a= — , 



/7=zty4. Se m = o, sarà dunque a = o: e quindi se la parte intera 

 di P è costante, anche v avrà una parte intera costante. Se A = o, sarà 

 pure /z:^o; onde se P non ha parte intera, non l'avrà tampoco v. 



Supposto che V abbia un denominatore, e che questo denominatore 

 abbia un fattor lineare x — a, il quale non sia contenuto nel denomi- 

 natore di P o vi entri solo alla prima potenza , o ad altra potenza 



impari , rappresentiamo con z ^ quella delle frazioni componenti v 



che conterrà x — a col massimo esponente nel denominatore, e poniamo 



/* = r _-_4_. . . ^ intendendo per A una quantità costante o anche 



nulla, e per i un numero impari : l'equazione (20) darà 

 ah il A 



{x — «)""*"' {x — ay-' ''' (x — df 



ed essendo ia un numero pari non inferiore ad a-i-i, questa non può 

 sussistere se non è a-Hi = 2a e — a/i4-A'=o, onde a=i e h-=ii , 

 quando non sia A = o. Adunque un tal fattore x — a o non entrerà nel 



