DI ANGELO GENOCCHI 32 3 



denominatore di f , o vi entrerà solo alla prima potenza, e la frazione 

 parziale che lo contiene avrà per numeratore i. 



Nel caso poi di j>-2, non sarà possibile di verificare l'equazione 

 precedente perchè nessun altro termine potrà distruggere il termine 



j : basta dunque che il denominatore di P sia divisibile per una 



(jc — a) 



potenza impari superiore alla prima d'un fattor lineare x — a , e si può 



conchiudere che l'equazione (20) non ha integrali razionali. Se y^ non 



e nullo e izni, non potrà esser nullo h, perchè altrimenti il termine 



non isparirebbe , e quindi si avrà h=i. 



X — a 



Se X — a è contenuto alla seconda potenza nel denominatore di P, 



n ^ ■ . , 



posto P-=--, r^-H. . . , SI avrà 



'^ {x — a) 



ah h 





(x — ay-^'- (x — aY' ■■■ (x — ay ' '' 

 e converrà supporre 



a-l-i=:2«=2 , — ixh-^K^=A , 



onde a=i , A^=-h(h — i). Dunque i fattori lineari che sono alla seconda 

 potenza nel denominatore di P saranno alla prima potenza nel denomi- 

 natore ài V , e tra i numeratori A , h di due frazioni parziali corrispon- 

 denti sussisterà la relazione A-=.h(Ji^\). 



Ti 



Sia semplicemente P=A-\ — j : la funzione v se è razionale non 

 ^ X 



potrà avere se non la forma 



V2-4- — hh.i — 1 ^- — -+-...H ^ — ) , 



' X \x — a, X — «1 X — a„/ 



ove a, , a^ , . . . a„ sono quantità costanti disuguali e diverse tutte da 

 zero, in un numero qualsivoglia n ; he zero oppure i ; A: è una delle 

 radici dell'equazione k(k — i)=:B. Avremo 



dx X l\x — a,l \x — a^/ \x — «„/ J 



v^=iA-i ;-f-A'. ( — ^ — )-hl — ^ — )~H...H-/ ^ ) 



X [\x — a,/ \x — a^f \x — a„' \ 



JC \ xf [x — a, X — a^ x~(i„\ 



