326 STUDI INTORNO AI CASI d'inTEGRAZIONE ECC. 



si troverebbe B,=k,(k, — i) , B^=k^{k^—i) , B„,= k^(k„—i) , e 



ra-t-A:,-|-/c^H-. . . -+-^^=o , e si avrebbero m-\-n equazioni di condizione 

 tra le m-i-n quantità a, , a^ , . . . a^ , k, , k^ ^ . . . k^ , e l'indice n. 



10. Riguardo all'equazione particolare 



(") S=KI)-^. 



possiamo dalle cose dimostrate inferire che nel caso di A diverso da 

 zero essa non avrà integrale algebrico e l'equazione corrispondente U^^o 

 non avrà integrale razionale quando B è negativo , e quando B è po- 

 sitivo ma non uguaglia il prodotto di due numeri commensurabili j3(|3-f-i) 

 che differiscano d'una unità, e che allora l'equazione (20) non ha inte- 

 grale razionale (poiché se lo avesse sarebbe ^ = n numero intero) e 



fvdx 



quindi non è integrabile algebricamente, vale a dire che fatto j-=e 

 non è V funzione algebrica di x. 



Le costanti A e B date dalle equazioni (12), se pongasi b = o e 

 c-=o divengono 



(23) ..... ^=4^^ B:=. ' 



e nel medesimo tempo l'equazione (io), cambiato jc in s per evitare 

 ogni confusione , si riduce a quella del Riccati 



M) §7-^-^^/^-^"' ' 



e l'equazione (9) diventa 



(25) -j~ = kaa:^j . 



La seconda delle equazioni (23) somministra fj!. = --p= — 2, valor 



r 4 



I A 



reale se B-^-j è positivo; e dalla prima si ha aA= — (^.-4-2)^ ; quindi 



se sono dati A e B si possono determinare ^x e uno dei coefficienti 

 a , k, restando arbitrario l'altro che potrà anche prendersi = i . Per- 

 tanto l'equazione (22) si può sempre ridurre a quella del Riccati, e lo 

 stesso sarà dell'equazione (io) in apparenza più generale che fu conside- 

 rata dal sig. Malmstèn e dopo lui dal Prof. Briosohi, poiché questa (io) 



