328 STUDI INTORNO AI GASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



brica di x, sarà tale aiiche v, ed essendo 



T) — — -. — 3C "T" "5 OC p ce <^^ S y 



' kx ka. 



sarà p funzione algebrica à\ x e x ài s ogniqualvolta \i sia commen- 

 surabile; dunque allora p sarà funzione algebrica di s, cosicché quando 

 per un valore commensurabile di fx fosse integrabile algebricamente 

 l'equazione (22)^ sarebbe lo stesso della (24), escluso soltanto il valore 

 a= — 2, pel quale le formole (28) divengono illusorie, e la trasfor- 

 mazione indicata non è più possibile. 



Inoltre l'equazione (26) non ha integrale algebrico per /x = — i, 

 poiché la funzione u corrispondente non può avere una parte frazio- 

 naria , né una parte intera (num. 5 e 8), e quindi non può esser 



razionale. Nello stesso tempo, preso P= — , l'equazione (20) non ha 



integrale rs^zionale, perchè se l'avesse, sarebbe della forma 



X \x — a X — fl. 



^) 



(v. num. 9), e ne seguirebbe 



y=.e =.x\(x — a^){x — a^). . .{x — «„))* , 



mentre j non è funzione algebrica di x : quindi nemmeno v sarà fun- 

 zione algebrica di x. Ma per ;;. = — i si passa dalla (9) alla (8) e 

 quindi dalla (25) alla (22) mediante una trasformazione meramente al- 

 gebrica, e si passa dalla (9) alla (io) e però dalla (aS) alla (24) po- 



kfpdx kfpds 



nenào j = e ovvero j^ = e , Qnde^'=ff/' posto s=zx: dunque 



per fx=: — i l'equazione (22) non sarà integrabile algebricamente, né p 

 sarà funzione algebrica di s, cosicché neppure la (24) avrà integrale 

 algebrico quando sia fA = — i . 



H. Per passare ad altri valori di ix, usiamo la trasformazione nota 



I I 



" ks s^'p' ' 

 con cui , fatto 



' ix-i-^ pi-H3 fx-i-ó 



si deduce dalla (24) l'equazione della stessa forma 



