33o STUDI INTORNO AI CASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



maggiore di ^ e minore di 4? dal che risulta — |U>--p- e — ^'•■<o - 



^ 11 128 



Dunque per ^ commensurabile e compreso tra p- e — ^ nemmeno 



la (24) avrà integrale algebrico. 



Generalmente se la (24) non ha integrale algebrico per — /jt, com- 

 preso tra due numeri m e -^ , che per m^- e m =— r- si ridu- 



^ 6 — ra ^ 3 5 



cono ai limiti precedenti ^ supposto 2<;to-<3, l'equazione (26) non 



,.,.., , . /J--4-4 t 4 — "^ i 



J avrà similmente per — a ossia ^ compreso tra /« e -^1 , u 



^ "^ jU-^-S ^ 3 — m ' 



che somministra — u. compreso fra e m , ossia fra m e ^ — 



'■ in — I ò — 



f 5 



posto m'= : e da ciò si dedurrà che nello stesso caso neppure 



l'equazione (24) è integrabile algebricamente, cosicché non havvi inte- 

 grale algebrico per alcun valore commensurabile di p. compreso fra 



■ m e 



3 — m 

 Si faccia successivamente 



, "òm — 4 /( 3/?^' — 4 /(/ 37n" — A 

 m=i , m'= — -, , m' == — f. , ecc. : 



ripetendo l'esposto ragionamento, i limiti di ju diverranno successiva- 

 mente — m' e — m, — m'' e — m , — m'" e — m" . . . , e i numeri 

 m, m' iTì!' . . . , saranno decrescenti ma tutti maggiori di a, poiché da 

 m'^2 segue S/ra— 4>2/ra — 2 e quindi 7«'>2. Sia 



e similmente p'^i-i-p, p"'=i-i-p'', ecc., onde p''=r2-4-|0, p'" z=.Z -\r p ■ ■ ■ , 

 e in generale p^^^=.i-^p. Adunque le quantità positive p, p , p" . . . 

 sono crescenti e possono superare ogni grandezza data ; dunque i numeri 

 m, ni, m". . . sono decrescenti e si avvicinano quanto si voglia al 

 limite inferiore 2: talché si può conchiudere che l'equazione (24) non 



