332 STUDI INTORNO Al CASI d' INTEGRAZIONE ECC. 



si è trovato (num. 7) 



v' = V/I-1---l-/i . ( — ^ 1 1 -4 — ) , 



X \x — a^ X — ftj X — a„/ 



ove hz=ii , kz= — n, e B = n{n'\-i), e da ciò risulta 



j = Ce''^^x~''X , 



indicata con C una eostante arbitraria e con X un polinomio intero di 

 grado n, prodotto dei binomii x — a,, x — a^,...x — a„. Potendosi 

 dare il; doppio segno alla radice yj. si avrà un altro integrale particolare 

 y=sC'e~'^^^x^'^X', e si comporrà l'integrale generale 



(38) j = Ce='^^x-''X-\'C'e-^^x-''X' 



che è trascendente né può rendersi algebrico per alcuna determinazione 

 dell^ costanti arbitrarie. Adunque giungiamo al teorema del sigaor 

 Liouvu-LE pel quale l'equazione (22) se ^4 è diverso da zero non ha 

 mai integrale algebrico. 



Dall'integrale dell'equazione (22) nel caso di p. = . _^ si de- 

 duce quello della (24), ed è chiaro pel precedente valore (28) ài j , 

 che questo sarà trascendente come è trascendente il primo. Rimarrà 

 il solo valore p. := — 2 ; ma per esso l'equazione (24) si cambia in 



cr r ka , dy 



-~=^—^r ponendo sz^x , p = j-^^ '■> 

 dx X "^ ^ kjdx 



e l'integrale completo di quest'ultima, dato nel num. 7, mostra che p 

 non può diventare algebrico se ka non è il prodotto di due numeri 

 c-ommensurabili e 5-(-i: laonde in questo solo caso l'equazione (24) 

 può avere un integrale algebrico. E quindi l'equazione (24) ossia l'equa- 

 zione del RiccATi non sarà int.egirabilo algebricamente per alcun valore 

 commeasurabile dell'esponente \x, eccettuato il solo valore fji = — 2 

 quando i coefficienti a, k abbiano la relazione Aa = S(5-4-i) con un 

 numero commensvirabile 9. 



Se poi \x è incommensurabile, dimostreremo come segue che l'equa- 

 zione (24) non può integrarsi algebricamente. Supponiamo che p sia 

 funzione algebrica di s, e rappresentiamo con 



S^p"'-JhS^p'^'~'-^S^p"'~^-^. . .^S„,_,p-ì^S^ = 0' 



un'equazione algebrica irreduttibile i cui coefficienti 5^, 5 , S^, . . . siano 



