DI ANGELO GENOCCHI 333 



funzioni intere di s. Indicato con f il primo membro, avremo diffe- 

 renziando 



df d(p dp 



ds dp ds 



e per mezzo della (24), ponendo as''=z, ne trarremo 



dcp d(p . , 1, 

 dJ^d^^'-^P^ = ' ' 



equazione algebrica tra p, s e z, talché eliminando p tra queste due 

 equazioni, otterremo un'equazione algebrica tra s e z , e quindi z sarebbe 

 funzione algebrica di s, il che per p. incommensurabile è assurdo. 



Si noti che z non può sparire dall'equazione risultante tra z e s. 

 Infatti se si chiamano p, , p^ ,. . . p^ gli jìi valori di p che corri- 

 spondono ad un determinato valore di x, si formerà questa equazione 

 risultante sostituendo successivamente tali m valori a p nel polinomio 



^z^^ — kp''^ , 

 dp ds " dp ' 



moltiplicando insieme tutti i polinomii così ottenuti e uguagliando il 

 prodotto a zero dopo avere espresse le funzioni simmetriche delle 

 radici p, , p^ , . . . p,^ con funzioni razionali dei coefficienti S„, S,, S^. . . 

 Adunque l'equazione risultante sarà del grado m rispetto a z , e fatto 



-ji = y'(yD) , il coefficiente di z'" sarà eguale al prodotto 



?'(p,)f'(P^)---?'(Pr.) 



e però al discriminante dell'equazione tra p ed s , il quale sarà diverso 

 da zero, perchè l'equazione essendo irreduttibile non ha radici eguali. 

 Sarà pur diverso da zero il termine che non conterrà z, poiché l'ipo- 

 tesi z=o non sarebbe conforme all'equazione (24), e d'altra parte 

 fatto 



d^-''P/p = '^^P^ ' 



quel termine sarebbe eguale al prodotto <\i{p^)^[p^). . . <li{p^ che non 

 può annullarsi se non è nullo almeno uno d'e' suoi fattori : ma sup- 

 ponendo 



■kp^ 



d(p . ^d(p 



dp 



