334 STUDI INTORNO AI CASI d'iNTEGR-ÌZIONE ECC. 



,, , da da dp 



1 altra equazione ^-4--yi . -/-^o 



as ap as 



e non essendo y indipendente da />, ne seguirebbe 



-/-H-Ap^^o , onde --^ks-^-c , 



as '^ p 



relazione incompatibile coU'equazione (24)- Laonde l'equazione risultante 

 non potrebbe esser identica ed esprimerebbe veramente che z è funzione 

 algebrica di s. 



13. Il signor LiouviLLE ha eziandio affermato che solamente nel 

 caso di B = n(n-hi) e [j.z= ^ le equazioni (22) e (24) ammet- 

 tono integrali espressi m temimi Jiniti , cioè mediante un numero li- 

 mitato di segni algebrici , esponenziali e logaritmici ^ e anche di segni 

 d'integrazione indefinita relativa alla variabile x o 5. La sua dimostra- 

 zione suppone che l'equazione U,.= o dedotta dalla (22) e l'equazione 

 (20) non abbiano integrali razionali ^ mentre per l'equazione t/,.= o la 

 impossibilità d'integrali razionali non fu dimostrata generalmente. Ma 

 sarà facile giungere alla dimostrazione compiuta , seguendo la stessa via 

 tenuta dianzi rispetto all'integrazione algebrica. 



Si è dimostrato che l'equazione C/,.= o dedotta dalla (22), e la (20) 

 dedotta pure dalla (22) non hanno integrali razionali quando non sia 

 B positivo: dunque in questo caso l'equazione (22) non sarà integrabile 

 sotto forma finita. L'equazione (24) si deduce dalla (22) per mezzo di 

 trasformazioni espresse pure in termini finiti, e lesponente fji, è compreso 

 tra o e 00 ovvero tra — 4 ^ — 30 quando B non è positivo: dunque per 

 tali valori di jj. l'equazione (24) non sarà integrabile sotto forma finita. 



Si è pure dimostrato che l'equazione t/,.= o e la (20) non hanno 

 integrali razionali nel caso di P = kax'' se p. è = — i ; dunque allora 

 l'equazione (25) non sarà integrabile in termini finiti, e lo stesso si 

 dirà delle equazioni (22) e (24) che si riducono alla (25) col mezzo di 

 trasformazioni algebriche o trascendenti espresse in termini finiti. 



Supposto p. diverso da — 3 , l'equazione (24) si può trasformare 

 nella (26), e questa avendo forma simile alla (24) non sarà integrabile 



