DI ANGELO GENOCCHI 335 



in termini finiti se p.' è positivo o compreso tra — 4 ^ — 00 ; essendo [j. 



Q 



compreso allora tra — 3 e — 4 ovvero tra — ^ e — 3, l'equazione (26) 



e però anche la (24) di cui è la trasformata non sarà integrabile per 

 tali valori di p.. Ma supposto p. diverso da — i, la (24) si trasforma 



3 3 

 anche nella (27), e fatto /ji = — i si ha ijJ= nella (26), fatto ju, = 



si ha p.,= — 3 nella (2'y); onde non essendo integrabile la (24) per 



3 



fj. = — I, non sarà tale la (26) per p.'= , quindi neppure la (24) 



3 , 

 per jtJL= né la (27) per fx, =: — 3; dunque la (24) non è integrabile 



nemmeno per /ui = — 3 ; dunque non sarà integrabile per alcun valore 

 di [j. compreso fra — 5 e — 4- 



Da ciò ripetendo il ragionamento si dedurrà che la (24) non è in- 

 tegrabile per alcun valore di p. compreso fra — 2 e — 4 quando non sia 



uno di quelli che sono determinati dalla formola p=^ : • 



^ 21 — I 



Di pili l'equazione (27) non sarà integrabile per p, positivo né per p, 



compreso tra — 2 e — 00 e non contenuto nella formola p,^ ? ; 



e a siffatti valori di p, corrisponde p. compreso tra zero e — i ovvero 

 tra — I e — 2 e non contenuto nella formola u. = -. . Dunque 



' 2i-f-I ^ 



per questi valori di p, a. cui si deve aggiungere anche il valore f/. = — i, 

 non è integrabile la (26), e quindi neppure la (24). 



Adunque l'equazione (24) o del Riccati non è integrabile in termini 

 finiti per alcun valore dell'esponente p. non contenuto nella formola 



p.= : . Questa comprende anche il valor eccettuato /u, = — 2, 



che se ne deduce supponendo i infinito. 



Potendosi l'equazione (22) trasformare nella (24) , si concluderà 

 eziandio che l'equazione (22) non è integrabile in termini finiti se il 

 coefficiente B non è della forma n(/i-f-i). 



La dimostrazione di questa proposizione esposta nel presente numero 

 potrebbe dispensare dai piii prolissi ragionamenti dei numeri antece- 

 denti : ma ho creduto di non doverli ommettere per dimostrare che l'equa- 

 zione (22) non ha integrale algèbrico, senza ricorrere alla distinzione 

 delle classi di funzioni trascendenti introdotta dal signor Liouville. 



