336 STUDI INTORNO AI CASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



14. In ogni caso gli integrali dell'equazione (22) si possono espri- 

 mere con serie convergentL Prendendo norma dal valore (28) poniamo 



j=e z , 

 e sia z una funzione da determinarsi che diverrà una funzione intera 

 di — nel caso di Bz=.n(n-\'ì). Fatta la sostituzione avremo 

 d^z ^j—dz B 



e posto 



z = x'"A-h^x"'^'^' -^h^ocf"'^'' -^h^x"^'^^ -\- . . . , 



essendo m , h^, h^, h^,... costanti da determinarsi, ne dedurremo 



m(m — i) — jB = o , {in-^i)mh^-^2inyA — Bh^=:o , 



(m-k-2)(m-i-i)h^-i-2(m-i-i)h,yj — Bh^z=.o. . . , 

 e generalmente 



{m-^q){m-^q — i)7z^-j.2(mH-9 — i)^,_,|/C? — Bh^-=:o . 



La prima di queste equazioni mostra che in può aver due valori, 

 e che supposto 5:=:j3(P-t-i) sarà to = — ^ oppure /» = n-|3. Messo 

 Tn{m — i) in luogo di 5 nella seconda e diviso per 7«, si trova A,= — j'A; 

 l'ultima poi somministra 



l^ 2(m-H,7— i)|/I ^ ^ _ — 2(m-\-q—i)\A j^ ^ 



' (ni-^q)(m-^q — i) — m(ni — i) ' ' q(2m-^q — i) ' ' 



onde i coefficienti h^ sono determinati successivamente l'uno per mezzo 

 dell'altro , e così ad ognuno de' valori di m corrisponde un'espressione 

 di z. Se p non è un numero intero, queste espressioni di z saranno 

 serie infinite che saranno convergenti per tutti i valori di x , poiché il 



quoziente j^ — di due termini contigui eguaglierà 



m — I 



2x(m-^q — i)V^ 2xVJ q 



q(2m-^q — i) q 2m — i 



che per q infinito si riduce a zero. 



Se p è un numero intero, si farà m = — 13, e l'espressione di z si 

 troncherà al termine in cui l' indice q uguaglia (3 , onde si avrà in forma 



