DI ANGELO GENOCCHI 337 



finita un integrale dell'equazione (22). Questo è il medesimo che trova 

 il signor LiouviLLE ('"), non differendone se non perchè l'uno è ordinato 

 secondo le potenze ascendenti e l'altro secondo le potenze discendenti 

 della variabile x. 



In ogni caso da un'espressione di z se ne dedurrà un'altra cam- 

 biando yj in — \T, e si ottengono così due integrali particolari distinti, 

 che moltiplicati per due costanti arbitrarie e poi sommati daranno 

 l'integrale completo. 



Siano z, , Zj i due valori di z, e si faccia 



l'integrale completò sarà 



jK = <:7,e^'/~z.-HC,e-^i/^z, , 



e si esprimerà o per serie o in forma finita. 



Si avrà pure j, j^-=.Ci C^ s^ z^, e se [3 è un numero intero, essendo 

 allora z, e Zj due polinomii razionali, il prodotto j, j^ sarà pure una 

 funzione razionale di x; se |3 non è intero, questo prodotto sarà, for- 

 mato da due serie ordinate per le potenze ascendenti di x. 



Sarà generalmente 

 (29) z.z^ 



^ 4(m-n)(/7z-t-2)(TO-H3) j,^^ 



L 3.4(2mH-i)(2m-|-2)(2/raH-3) - 



^^f ,,_ in-i-i . , 2('m-+-i)Cwi-H2) . ,,,_ 1 



[ ' 2TO-J-I 0(2TOH-l}(27n-4-3; j 



Ma fatto u=j^j^, ricorrendo alle equazioni (i4); (i5) ^ ('9) ^^ 

 cui prenderemo 7' = 2, otterremo 



d^u . jyd u dP 



dx^ dx dx ' 



T3 



e posto P=A-^—i , 



^ X 



(*) Jonraal de Mathémat. 1841, pag. 12. 



Serie II. Tom. XXIII. 



