DI ANGELO GENOCCHI 339 



ossia I d\i p_i du dìog.j, ( dìog.jX 



2 u dx'' u dx d X \ d X I 



Se pertanto u sia una funzione algebrica di x, quest'equazione darà 



, dXos.r, r ■ 111- r dìos.r . 



anche — , funzione algebrica di a:, e ratto — " '^ ' = t' , si avrà 



a X ^ dx 



fvdx 



j-_=e : dunque ogniqualvolta nessun integrale della (22) possa 

 esprimersi sotto questa forma in cui v denota una funzione algebrica 

 di X, il prodotto u di due integrali sarà funzione trascendente. 



La medesima equazione mostra pure che se 11 sia una funzione 



d\o£^. y 

 trascendente esprimibile in termini finiti, anche — ,° ' e quindi an- 

 che j^ sarà esprimibile in termini finiti ; onde nei casi in cui nessun 

 intégrale della (22) si esprime sotto forma finita, sarà lo stesso del 

 prodotto di due integrali. 



Ciò che qui diciamo dell'equazione (22) deve applicarsi più gene- 

 ralmente alla (i3). Nel caso particolare della (22) il prodotto j^j^ non 

 si potrà esprimere in termini finiti quando il coefficiente B non sia 

 della forma n(n-\-i): e allora, cioè per tutti i valori non interi di m, 

 tanto la somma di ciascuna delle serie (29), quanto il prodotto delle 

 loro somme, sarà una funzione trascendente di x non esprimibile in 

 termini finiti. 



Ma possiamo anche dimostrare che fuori del caso B=^n(n-h 1) 

 l'equazione differenziale £/).=: o, corrispondente alla (22) e dedotta 

 dalle (i^), (i5), . . . (19), qualunque sia r non ha integrali razionali. 



Osserviamo primieramente che se l'equazione 1/^=0 ha un integrale 



razionale quando P=^H — j, esso per le conclusioni del num. 'j 

 non può essere fuorché della forma 



, h h, h 



u = h-i — !. -H -4 -f-. . .-+.-? ; 



e che sostituendo questa espressione nelle equazioni (i4)j ('5), . . . (19), 

 e rendendo identica l'ultima, si otterranno equazioni di primo grado 

 tra i coefficienti h, k^ , h^, . . . che li determineranno l'un dopo l'altro 

 restando indeterminato soltanto il primo, talché se si prescinde da un 

 fattore costante arbitrario, si avrà una sola soluzione. 



In secondo luogo notiamo che se per un valor determinato di ?• 

 fequazione U,.^o ha un integrale razionale j<, per un altro valore tjj- 



