34o STUDI INTORNO AI CASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



moltiplice del primo essa avrà un integrale razionale uP , poiché u dovrà 

 essere una funzione intera omogenea di grado r degl'integrali j-_ , j^ , 

 e quindi u'' essendo funzione intera omogenea di grado qr degli stessi 

 integrali, soddisfarà all'equazione C/^,.= o. Adunque ammettendo che 

 l'equazione £7^=0 abbia vm integrale razionale quando 5 = j3((3-4-i) 

 essendo j3 un numero commensurabile non intero, possiamo supporre 



l'indice /■ pari e moltiplice del denominatore di |3, cosicché -r e ^r 

 saranno numeri interi. Ora la potenza 



essendo una funzione intera omogenea di j, e j^ del grado r, dovrà 

 soddisfare all'equazione U,.-= o ; di piìi avendosi 



questa potenza sarà per la formola (29) espressa da x'"'" moltiplicato 

 per ima serie ordinata secondo le potenze intere crescenti di x, e a 

 cagione di m = — 13 , e |3 /• numero intero , tale espressione sarà una 

 funzione contenente solo potenze intere di x : dovrebbe dunque avere 

 gli stessi coefficienti dell'integrale razionale della U,.=o e però con- 

 fondersi con questo integrale razionale u, il che darebbe 



sarebbe dunque /, f^ funzione algebrica di jc , contro a ciò che si è 

 dimostrato. 



10. Il teorema dimostrato intorno alla condizione da cui dipende 

 l'integrazione dell'equazione (22) in termini finiti, si applica, come 

 mostrò il LiouviLLE (*), all'integrale Besseliano 



t: 



(3o) ■j=i\cos.{n<p-^xsen.(p)d(p , 



(*) Journal de Mathém. 1841 , pag. 36. 



