DI ANGELO GENOCCHI 345 



quindi pel num. 7 , essendo negativo il coefficiente — - delle frazioni 



parziali — -; — ^, tt -j ;, la funzione u corrispondente se è 



* b^x 4(' — ^) 



razionale non avrà parte frazionaria, e ridotta così a funzione intera 



sarebbe pel num. 8 del grado - e divisibile per x^ e per {x — i)^ f 



A I 



poiché P è del grado — 2, e posto P = -^-{-Q si ha ^=: — - ; d'altra 



parte ordiìiando il numeratore e il denominatore di P per le potenze 



A-\-. 



ascendenti sia di jc, sia di x — i , e ponendo P=. -, -^ , si ha 



' r (^^ — ^■^ _j___ _ 



ancora A=. ; ; dovrebbe adunque u essere un monomio lix^ divi- 



4 



sibilo per {x — i)^ , il che è assurdo. Laonde u non sarà l'azionale e 



l'equazione (i3) non avrà integrale algebrico, e però nella (36) v non 



sarà funzione algebrica di x. Adunque l'integrale ellittico completo di 



prima specie non è funzione algebrica del suo modulo. 



Nello stesso caso e per le cose dette al num. 9 l'equazione (20) 



non avrà integrale razionale che non sia della forma 



I I 7/1 I I \ 



IX 2{x — 1} \x — a, X — a^ x — a„ / 



supposto che il coefficiente h eguagli zero o l'unità, e risultandone 



fvdx 2 - / - / \* 



j- = e = (x — X ) ^ {(x—aj (x — a,) . . . (x — a,,)^ , 



sarebbe j una funzione algebrica ài x , il che si è già dimostrato im- . 

 possibile. Adunque nessun integrale dell'equazione (20) può essere ra- 

 zionale , e poiché lo stesso è dell'equazione U,.-^ o , si dovrà dire che 

 l'equazione (i3) ossia (36) non è integrabile in termini finiti, cioè che 

 il trascendente ellittico completo di prima specie non è funzione finita 

 del modulo. 



È facile stendere queste proposizioni ai trascendenti ellittici di se- 



d Y 

 conda specie. Poiché le equazioni trovate -y^= — yC, y=^A — Bx 



porgono 



lZ = I.(^._^)^ A^y-^-.'f: 



dx X i dx 



si ha di più 



Serie II. Tom. XXIII. 'u 



