346 STUDI INTORNO AI CASI d'inTEGRAZIONE ECC. 



dx oc \ax dxl x^ x ^ ' x dx 



d y d Y 

 e sostituendo nell'equazione (33) queste espressioni di ~- e -~-^ , si 



otterrà vin equazione per cnij" sarà espresso razionalmente con A , -7 — , 



X e (i — txy-~^ ; quindi : i." se / fosse funzione algebrica di x, sarebbe 

 tale anche A ; 2.° reciprocamente se A fosse funzione algebrica di x,, 

 sarebbe tale anche j , almeno quando 7 è un numero commensurabile 

 e quando si prende t=i, il che fa sparire la quantità (i — txy~^; 

 3.° s>e j fosse trascendente ma esprimibile in termini finiti col mezza 

 di X, sarebbe tale anche A , e reciprocamente se A fosse funzione finita 

 di X, sarebbe tale anche j. Ora nel caso di o:=/3=:7=5, preso t=.sevi!'(f , 

 si ha come si vide j doppio del trascendente ellittico di seconda specie 

 con modulo yi e ampiezza y , e similmente si trova 





cioè A doppio del trascendente ellittico di prima specie con modulo e 

 ampiezza eguali. Dunque il trascendente ellittico di prima specie non 

 può essere funzione algebrica o funzione trascendente finita del modulo, 

 se non è tale anche quello di seconda specie , né questo essere funzione 

 algebrica o trascendente finita del modulo, se non è tale quello di 

 prima specie. 



Gli esposti teoremi appartengono al signor Liouville (*). 



i9. La seconda delle equazioni (35) si può mettere sotto la forma 



d\ Ua^P-^y- i ^ (P + y)-! ^ (a + |3)(p-i)-y(«-/3) 

 dx^ [ 4-^' 4(i — ^T 2x{i — x) 



paragonandola alla (i3) e avvertendo che 



(«-4-/3— i)'— t _ g-^p / «H-P \ 



4 "2^2 7 ' 



(p-H-y)— i _ (Bh-v-H / /3 -{-7-1-1 . \ 



4~~- ^ l ^ / ' 



(') Journal ùe Slalliém. 1840, png. 447-459. 



