DI ANGELO GENOCCHI 347 



e che « e p si suppongono positivi , si dedurrà dai numeri 7 e 8 che \> 

 non potrà essere funzione algebrica se a-t-/3 e /3-i-y siano entrambi 

 incommensurabili , ovvero P-t-7 sia incommensurabile e a-f-/3 minor 

 di 2 , o finalmente a -1-/3 sia incommensurabile e /B-Hy sia compreso 

 tra — I e H-i. Imperocché l'integrale u dell'equazione U^=o non 

 potrà essere una funzione intera se «-4-/3 e jS-Hy non sono ambedue 

 commensurabili, né una frazione razionale se a-4-|3 non é un numero 

 commensui'abile maggior di 2, e jS-t-y-Hi non è un numero commen- 

 surabile o maggior di 2 o negativo. 



Supposto che nessuna si adempia di queste condizioni, l'equazione (35) 

 e la (34) non saranno integrabili in termini finiti se l'equazione (20) 

 non ammetta un integrale razionale che potrà solamente essere della 

 forma 



h, /i, , / I I \ 

 v = — ì — ìrhi.l — +....H ) , 



X I — X \x «, X — «„/ 



essendo A3 nullo o eguale ad i , e 

 ne risulterà 



Ivdx 11/ \ 



j-=e =j:"i(i — x)'hl(x — a^)(x — a^)...{x — «„))^j ; 



quindi se facciamo nella seconda (35) v = .r^i(i — x')Kz , dovrà z am- 

 mettere per sua espressione una funzione intera di x, senza di che 

 la (35) non sarà integrabile in termini finiti. Sostituendo nella seconda (35) 

 ossia nella 



-(2^^.->-Ì(«+P)(P-0-^7(«-P))z = o -. 



indi supponendo z un polinomio di grado n fai'emo zz^Ax"-^. . . , 

 e dopo aver sostituito, raccoglieremo i termini contenenti la potenza 

 pili elevata x" , e annullando il loro aggregato avremo 



