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DI ANGELO GEN OCCHI 349 



Paragonando la seconda equazione (35) alla (i3), si avrà per P una 

 frazione razionale di grado — 2, e riducendola alla forma -^^-t-Q? si 

 troverà 



^- 4 ^ 4 



(«-Hf3)(|3-i)-Y(«-P) _ («-Hy)-i 



- 4 



quindi a motivo di 



(a-4-7/ — 1 a-j-7-t-i /ot-+-7-t-i 



si trarrà dai ragionamenti del num. 8 che l'equazione U,.z=io non può 

 essere soddisfatta da una funzione intera u, se anche a-ìry non è un 

 numero commensurabile. Adunque ai casi in cui u non può essere ra- 

 zionale e per ciò v nella (35) non può essere algebrico, si deve aggiunger 

 quello di a + y incommensurabile qviando nel medesimo tempo a-J-|3 

 non sia un numero commensurabile maggior di 2, e P-+-7-H1 non sia 

 un numero commensurabile maggior di 2 o negativo. In questo caso 

 se a-(-/3 e |3-i-y sono entrambi commensurabili , saranno pur commen- 

 surabili A, e h^ , e quindi, supposto che la equazione (20) avesse un 



Jvdx 



integrale v razionale, ne risulterebbe la j- = e funzione algebrica 



di X, talché v nella (35) e anche j nella (34) sarebbero funzioni al- 

 gebriche di X contro alle premesse ; dunque nel caso figurato la (20) 

 non avrà integrali razionali , e però la (34) non sarà integrabile in 

 termini finiti e l' integrale (32) steso fino a t=i non potrà esprimersi 

 sotto forma finita per mezzo della variabile x. 



Si potrà ommettere la condizione di p-+- 7-4-1 non maggiore di 2 

 e non negativo: perocché si hanno le relazioni (num. l'y, 18)". 



, X dr - . X / . dA , A 



-^ -^j dx -^ a-+-j3-f-7 — I \ dx \l 



supponendo tz=i il limite superiore di t, e supponendo j' = (a — 1,7), 

 A=-{ot. — 1,7 — i) , e quindi se è algebrico j, è tale anche A, se è 

 algebrico A , è tale anche j , cosicché si potrà accrescere o diminuire 

 l'esponente 7 d'una imita , e per lo stesso motivo accrescerlo successi- 

 vamente o diminuirlo di due, tre o piiì unità: dunque se la somma 



