35o STUDI INTORNO At CASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



P-j-y-l-i è negativa, si potrà accrescendo •y d'un numero intero renderla 

 positiva, e se è maggior di 2, si potrà diminuendo 7 d'una o più unità 

 farla discendere sotto a 2. Laonde potrem dire che l' integrale (32) steso 

 fino a ^=1 non sarà funzione algebrica di x quando «•+ y sia incom- 

 mensurabile, a-l-|3 e P-l-y commensurabili, ma a-4-|3 minor di 2 ; e 

 nello stesso caso quali' integrale non sarà pur esprimibile in termini finiti. 



20. Lasciando indeterminato il limite superiore dell'integrale (32), 

 e facendo j' = i' ( I — txj, abbiam trovata (num. x'y) per v un'equazione 

 differenziale lineare con coefficienti razionali e col secondo membro 

 diverso da zero. Quindi, per un teorema noto, v non potrà esser fun- 

 zione algebrica di 3c , se qualche valor di v che verifichi la stessa 

 equazione difTerenziale non è razionale. Sostituiremo dunque in quell'e- 

 quazione 



K 



■ {x — af • • • • ' 

 ovvero 



nell'equazione (33) , intendendo che v sia una funzione razionale di x, 

 Ax'' il termine piìi elevato della sua parte intera, x — a uno dei fattori 



del suo denominatore, e -, rr la frazione semplice dedotta da v che 



' {x — af ^ 



contiene x — a col massimo esponente nel denominatore. Otterremo 



(x-x^)7(7-I)^^px''-^...-.^_^,....] 

 -2(j:-j;^)Y<(i-<.r).L^x"-+...- -...J 



\ 



-^{x-x'').{i-tx)' 



.\n(n- 



i)Jx'' 



Ax" 



-y^(i-ifx).ci:+j3-(a-y + i)x. 



.(I-..)^[«.p-(«-,.0-J.["^-"- 



+ «y(i-tx). \Ax+ ...+-. r 



' ^ [ {x-a) 



(x-a)"^^ 

 K 



] 

 ] 



>^'jt^{i-ty{i-tx), 



{x-af 



Kk 1| 



'{x-a)'^- W 



