352 STUDI INTORNO AI CASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



accrescendo y d'un numero intero qualsivoglia ; ma allora a -t- 7 e [3 -f- y 

 si potranno rendere positivi , e cosi resterà solamente che « -h p sia 

 un numero intero non minor di -2 ovvero che ■y sia un numero intero 

 positivo o negativo. 



Nel caso degl' integi-ali ellittici di prima e seconda specie si ha 



e quindi 7 non è numero intero, aH-|3 è i, a-Hy e (B-t-y sono eguali 



a zero o ad i : dunque essi non sono funzioni algebriche del loro modulo. 



È da vedersi nella Memoria del signor Liouville come si dimostri che 



non sono pure funzioni trascendenti finite, qualunque sia la loro ampiezza. 



Ponendo /3:=i, cambieremo l'integrale (32) in un integrale binomio 



t 



fi»—, {i — txjdt , 



o 



e potremo fai'e che la variabile jc si trovi soltanto nel limite superiore 

 di esso, poiché se poniamo txz=zz, lo trasformeremo in 



tx 



j;~'. j z""'. (i — zydz ; 



q 



quindi avremo 



X 



3c~'^. j s*~'. (i — zydz , 



o 



se neir integrale (32) prendiamo <=i, cosicché possiamo anche dedurre 

 gì' integrali binomii dall' integrale trinomio definito. Applicando al caso 

 di p = i le conclusioni precedenti , potremo dire che l' integrale binomio 



t 



(^-'.(i—tjcydt 



o 



non è funzione algebrica di jr e (1 — txy se a, y ovvero a-4-y non é 

 un numero intero. Il signor Tchebichef ha dimostrato che fuori di questi 

 casi; se Ci e y sono commensurabili, lo stesso integrale non potrà esprimersi 

 sotto forma finita senza segni d'integrazione (i). Rispetto all'impossibilità 

 dell' integrazione algebrica quando a e y sono incommensurabili , è stata 

 considerata nel numero precedente. 



(1) Journal de Liouville, 1853 



