354 STUDI INTORNO AI CASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



il limite superiore di « sia i , l'espressione di j si ridurrà al prodotto 

 di fi x)"" per mia funzione intera di x. 



oc CI x 



Si deve anche notare che l'equazione A=:.j -7— diviene illusoria 



nel caso di 7 = 0, nel quale jr è indipendente da x: allora integrando 



dA . . . . , • , > 



lequazione tra j , A e, -z — , in cui j' sarà costante, si otterrà A espresso 



da un integrale indefinito relativo ad x, e preso per j cpesto valore 

 di ^ e 7=— I, se ne dedurrà un altro valore di A che sarà il valore 

 di r nel caso di y= — 2, donde si trarranno successivamente i valori 

 corrispondenti a 7= — 3, — ^, ecc., cioè a 7 numero negativo intero 

 qualsiasi. 



Se 7 è intero positivo, svolgendo la potenza (i — tx'y nell'espres- 

 sione (Sa), si troverà per j- una funzione intera di x. 



Parimente j dipenderà da più integrali binomii 



( t"*"-'. (i — txydi , 



o 



se /3 è intero positivo , e da più integrali binomii 



t , 



o 



se a è intero positivo, potendosi nel primo caso svolgere (1 — ty~' per 

 le potenze di t, e nel secondo svolgere t''~' per le potenze di i — t. 



Così j si esprime in termini finiti ogniqualvolta n ha un valore intero 

 positivo nell'equazione (38). 



In tutti i casi in cui un integrale particolare j dell'equazione (34) 

 si può esprimere in tei-mini finiti, avendo del pari l'equazione (35) un 

 integrale particolare espresso in termini finiti , da questo mediante il 

 segno d'integrazione indefinita si dedurrà l'integrale completo (num. 4)- 



Anche l' integrale completo dell'equazione (33) si può dedurre da 

 quello deU'equazione (34) con quadrature indefinite relative ad x, come 

 risulta dalla teorica delle equazioni differenziali lineari, poiché le equa- 

 zioni (33) e (34) differiscono solamente per l'ultimo termine. Quindi 

 1' integrale trinomio indefinito (32) potrà esprimersi in termini finiti per 

 mezzo dello stesso integrale preso da (5=0 a t=i e di quadrature 

 relative ad x ; e per esempio, gl'integrali ellittici incompleti di prima 



