DI ANGELO GENOCCHI 355 



e seconda specie si potranno esprimere mediante gV integrali completi 

 e quadra tm'e indefinite relative al modulo. 



È noto che un integrale della (34) è dato dalla serie ipergeonietrica 

 di cui trattarono fra gli altri Gauss, Kummer e Jacobi (i), e che la 

 somma di essa può esprimersi con un integrale trinomio definito. Se 

 pongasi n — i-i-2(h^-^h^) = h , si ha dalla (38) 



aA./i,— i(«-i-p).(f3 — i)-i-i7(a — 13)=— ?zA , 

 e la (3'y) diviene 

 (39)... x(i — x)~.-i-[2h,— (h—?i-i-i)x]-~-^nhz = o, 



che è simile alla (34) e ha quindi per integrale la somma d'un'altra 

 serie ipergeometrica, trasformata della prima. I valori di n dati dalla (38) 

 sono otto, ma devono ridursi a quattro, perchè l'equazione differenziale 

 e la serie rimangono le stesse quando si permutano le due quantità h 

 e — n. Si ottengono così quattro trasformazioni della mentovata serie 

 ipergeometrica. 



I principii esposti si potranno similmente applicare ad altre equazioni 

 differenziali di second'ordine date da Abel in una Memoria sopra alcuni 

 integrali definiti (2). 



22. Ho avuta occasione (num. 12) di rammentare che l'esponenziale e"^ 

 e la potenza jc^, supposta a costante e p. un numero incommensurabile, 

 sono funzioni trascendenti d'i a: e non possono essere radici d'equazioni 

 algebriche. La verità di queste proposizioni si può dedurre dai teoremi 

 che abbiamo dimostrati dianzi. 



Fatto j':=:e^, troviamo 



indicando con X' e X'' le derivate prima e seconda di X, e questa 

 equazione si riduce alla (i 3) ponendo P=X' -ì-X": se dunque ammet- 

 tiamo che X sia una funzione intera di x, anche P sarà un polinomio 

 intero e per le conclusioni del num. 7 l'equazione (i3) non avrà integrale 

 algebrico. Dunque e-^ in tal caso non può essere funzione algebrica. 



(1) Comment. Soc. Golting. , tom. II, a. 1812; delle, tom. XV e LVI. 



(2) OEuvies, lom. I, pag. 93-102. 



