356 STUDI INTORNO AI CASI D INTEGRAZIONE ECC. 



<^V u(a — i) , - 



Fatto invece ^ = x% troviamo -t^ = 5 — f ^ ^ deduciamo 



questa equazione dalla (i3) ponendo P=- — '-^^ — =-: dunque per Je cose 



dimostrate nel nvim. 7 e nel num. 8, non -vi sarà integrale algebrico 

 se /x(|u, — i) non è il prodotto di due numeri commensurabili p, p — i, 

 e quindi se [x non è commensurabile. Dunque x^ è funzione algebrica 

 solamente quando fx è commensurabile. 



Darò tuttavia altre dimostrazioni più dirette delle medesime propo- 

 sizioni. 



Posto j^=e^, se j^ è funzione algebrica di x si avrà un'equazione 

 della forma 



ove p, , p^, ... p^ saranno funzioni razionali di x , e che possiamo 

 supporre irreduttibile ; differenziando questa equazione e indicando con 

 apici le derivate , ne trarremo 



\mj"'-'-k-(ni — i)p,j'^-^-^. . . -¥-p„,-]-^-^p\j"'-'-^p\r-'-^-. ■ . 



-f-p'„_,J-»-p',„ = o . 

 Ma -p- =: e'^^j : dunqu.e sostituendo 



mf"-^[(m — i)p,-ìrp'].j'"-'-h[(m — 2)p,-hp\]j"'-'-i-.. ■ 



equazione di grado m come la precedente e con coefficienti pure razionali, 

 talché essendo irreduttibile la precedente, l'ultima sarà identica con essa 

 e si avrà 



{in — i)p,-i-p',z=mp, , (ìli — 2)p^-^-p\,^:=mp^ , 



Pm~.-hp'm-,='np^^. , p'^=zmp^ , 

 ossia 



P\=P., p\ = 2p,,...p'^_,= (m—i)p„_,, p'„=mp„ . 



Uno almeno p„ dei coefficienti p, , p^ , sarà diverso da zero e si 



avrà p„=.np„, il che non è possibile dovendo p,^ essere una funzione 

 razionale di x, poiché altrimenti si spezzerebbe p„ in una parte intera 



hx'-+- e in frazioni della forma -, il termine più elevato 



(x—a/ 



