358 STUDI INTORNO AI CASI d'inTEGRAZIONE ECC. 



olAx aA ff.aA 



(x — a)""*"' (x — af (x — «)"'*'' 



la parte fratta non potrà essere identica nei due membri se non è a := o , 

 a=. — niJ. ; quanto alla parte intera se non è nulla si avrà iz=.nij.: dunque 



sarà /u,= , oppure iiz=n- , cioè fx numero positivo o negativo com- 

 mensurabile , jjercliè a ed i sono numeri interi. Conchiudiamo che la 

 funzione x"" non è mai algebrica quando l'esponente ju, è iiTazionale o 

 immaginario. 



d Y d Y t^ . . . il Y 



Le equazioni -r^=r, -j^=— .r sono casi particolari della -f--=zPY . 



^ dx "^ dx X ^ ^ dx -^ 



dove P rappresenti una qualsivoglia funzione razionale di x : ora se in 

 questa j può essere una funzione algebrica di x, si troverà col metodo 

 esposto 



p\z=i Pp, , p\= 2 Pp^ , p',„= m Pp„, , 



e non potendo essere nullo almeno p„^ , sarà per l'ultima equazione jz^p^ 

 un integrale della proposta diverso da zero, ovvero j=ip^ sacra un in- 



d Y 

 tegrale diverso da zero e razionale dell'equazione -~^-=.inPj , essendo w 



un numero intero. 



d Y 

 Rispetto all'equazione completa ~--==.Pj-^Q , in cui P e Q siano 



funzioni razionali di .r, si troverà similmente una serie d'eguaglianze, 

 la prima delle quali sarà 



mQ-i-(m — i)p^P-^p\z=iinPp, , 

 ossia 



L,p<-L.Pp^^Q , 



m ' m ' 



e mostrerà che se Q non è nullo, non può esser nullo yo, , e di più che 



yz=z . yt>, sarà un integrale razionale della proposta, cosicché se questa 



può essere integrata algebricamente, un suo integrale particolare è razionale. 



23. La proprietà dimostrata non appartiene solamente alle equazioni 

 differenziali del primo ordine, ma è comune a tutte le equazioni diffe- 

 renziali lineari, i cui coefficienti siano funzioni razionali di x, e che non 

 sono soddisfatte da j nullo o costante. 



Imperocché se l'equazione differenziale d'ordine ennesivìo 



