DI ANGELO GENOCCHI 



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dx" dx"-' ^ dx'"'- dx 



è soddisfatta da un valore di j che sia funzione algebrica di x, diffe- 

 renziando l'equazione razionale ii-reduttibile che collegherà j ed x, si troverà 

 per -^ una espressione che conterrà in forma razionale x e r e che 

 potrà ridursi alla 



intese con a, , j3, , 7, , \ altrettante funzioni razionali di x e chia- 

 mato m il grado di quell'equazione ; differenziando questa espressione e 



d Y d Y 



sostituendo la medesima espressione in luogo di -~- , si otterrà per -= — ^ 



un'altra funzione razionale òS. x e j che potrà ridursi a 



con a^ , |3j , . . . Xj razionali ; differenziando questa si troverà similmente 



d'Y . ,. d''Y d''r . . ••ni 



-r^ , indi -T-^ , . . . -5-^ 1 e sostituite tutte queste espressioni nella data 

 dx^ dx'' ' dx" ^ ^ 



equazione differenziale^ supponendosi P, Q, R, . . . F, funzioni razionali 

 di X, risulterà un'equazione razionale tra x e j' che sarà del grado m — i 

 rispetto ad j-, e che per ciò dovrà essere identica, essendo irreduttibile 

 quella di grado m. Ma se una tale equazione è identica, riesce indifferente 

 che per j si prenda piuttosto luna o l'altra radice dell'equazione di 

 grado m che collega x e j: dunque se una radice di questa equazione 



^'""■4-^, jr"*" '■+- 6CC. = o 



soddisfa alla data equazione differenziale , tutte le altre dovranno sod- 

 disfarle , e sostituite successivamente le m radici J, , J\ , Jm ? si 



avranno m equazioni differenziali, la cui somma, per essere 



darà 



dx dx dx ' 



talché anche il valore razionale J^= — — soddisfarà all'equazione differen- 



T 



ziale data, e se /^ non sia nullo, né -p- costai 



costante, questo valore sarà funzione di x. 



T 



ziale data, e se /^ non sia nullo, né -p. costante, non potendo soddisfarle j' 



