36o STUDI INTORNO AI CASI DliSTEGRAZIONE ECC. 



Aggiungerò alcune proposizioni molto semplici. Se P, Q^. . .V sono 

 funzioni intere, j non potrà essere razionale quando non sia anche una 

 filijizione intera^ poiché se j fosse una frazione si potrebbe spezzai^e in 



frazioni parziali -. —, e fatta la sostituzione risulterebbe dal termine 



É?"r , <• • / N„ ^a(a-+-i). . . (a-Hw — i) i- i • 



-r-^ la trazione ( — ir. ^ -r^ ^-— '- , mentre eh altri termini 



dx [oc — a)'+" ^ 



produrrebbero frazioni in cui l'esponente di x — a al denominatore 

 sarebbe minore di sc-Hre^ supposto che a fosse il maggior esponente 

 di JT- — a nei denominatori delle frazioni parziali di cui si comporrebbe r: 

 per ciò quella frazione non sarebbe distrutta da verun altro termine e 

 non potrebbe scomparire dall'equazione che il supposto valore di j dere 

 verificare ideiiticament&. 



Se poi sono funzioni intere i coefficienti P, Q^.-. T, ma l'ultimo P^ 

 è fratto^ è manifesto che j- non potrà essere una funzione intera, perchè, 

 fatta la sostituzione, il primo membro sarebbe una funzione intera e il 

 secondo una frazione. 



Net medesimo caso, se ^ è razionale, non potrà avere nel denomi- 

 natore altri fattori lineari che quelli di cui è composto il denominatore 

 di J^,. perchè; le. frazioni parziali derivanti da altri fattori non potrebbero 

 sparii-e datUi'equazi<jne, e. dovrà contenere tutti i fettori lineari che, entcecanna 

 n«?l; dieoQopiinEvtQee;^ ^ P^^ perchè se qualcuno. mancasSiei nel deiaiomiiiatoiie 

 di, j?c, iJi pifimo njembro si ridurrebbe ad una frazione il cui denomiTaaiore 

 ilpn. eonte.CTebbe ques.tGt fattore, e quindi non potrebbe: uguagliare il secondo 

 niftmte"Q- Sarà inoltre nefiess-aaria che il dwominatore di P^ non al^ia 

 fattori lineari con esponenti minori di n-^rl , poiché supposta r-; 



cerne dianzi una delle frazioni parziali di cui si compone j , si avrà 



A' 

 n$ll' equazione un termine -, —^^ che non potrà essere distrutto, da 



alcun altro, se x-—a entra nel denominatore di V^ con un esponente 

 minore di cr.^n, supponendosi a il massimo esponente di x — a nei 

 denominatori dell'espressione di j- e uguale per lo meno ad i. Nel caso 

 in cui anche i eoefficientv P, Q, . . . T, o alcuni di essi siano fratti , se 

 il denominatore di F' contiene qualche fattore Rneare x—a che non 

 entri nel denominatore di veruno dei coefficienti P, Q, . . . T, il medesimo 

 fattore dovrà essere contenuto nel denominatore ài j- , e supposto che vi 

 entri, coirespojiep.tÉ. a, dovrà entrare nel denominaiore di P^ coU'espo- 

 nente ct-^n, cioè n-Hi o maggiore. 



