DI ANGELO GENOCCHI 36l 



24. Il teorema dimostrato nel mim. preced. può ampliarsi. Suppongasi 

 che l'equazione differenziale ammetta per j una funzione algebrica di x 

 e d'altre quantità, le quali siano fimzioni irrazionali o trascendenti di x, 

 tali tuttavia che nel differenziarle non si producano trascendenti diverse 

 da quelle di cui si suppone funzione j ; allora j dipenderà da un'equazione 

 algebi'ica d'un certo grado m, i cui coefficienti saranno funzioni razionali 

 di X e delle indicate quantità irrazionali o trascendenti, e si dimostrerà 

 col medesimo raziocinio che un integrale particolare della proposta equa- 

 zione differenziale si ridurrà ad una funzione razionale di x e delle altre 

 quantità irrazionali o trascendenti già mentovate. E ciò varrà tanto nel 

 caso in cui i coefficienti dell'equazione differenziale siano funzioni razionali 

 del solo X, quanto nell'altro in cui siano funzioni razionali di x e delle 

 accennate quantità irrazionali o trascendenti, o d'alcune di esse. 



Supposti P, Q^,. . .V funzioni razionali di x, se V ha un integrale j 



che sia funzione algebrica di jr e dell'esponenziale é", può dimostrarsi 



che un altro integrale sarà funzione razionale del solo x. Dalle cose 



esposte già segue che un valore di j sarà funzione razionale di x ed e', 



.IX- > • M -t-M,e^ . , , i,,T lyj A 



talché si potrà scrivere r := -z^ ^-^ — , intendendo con M,, e iV,, due 



funzioni intere del solo x, con Af, e iV, due funzioni intere di x ed e^. 



Se iVo non e nullo, potremo dividere per iVo e scrivere J" = — ' ^ ^ , 



intendendo con M„ una funzione razionale di x, con M, e iY, due fun- 

 zioni intere di é^ con coefficienti che saranno funzioni razionali di x. 

 Si avrà 



dy _. (j-Hiy, e^){M!-i^ M; e^--HMe") — (i)f„-4-il/, e^\ (N! e"-4-iV,.e") 

 dx~ (n-iV^e-/ ■■•■ ' 



onde ~- sarà della stessa forma di j: si vede pure che ommettendo 



nel numeratore e nel denominatore i termini contenenti «*, sj riduce j 



ad M> « -f^l ad M' Ora poiché -r^ dipende da ^ , jcome —- dipende 

 dx ^ dx ^ dx dx 



■d v d y , , 



da r , anche -~-^ dovrà essere della medesima forma di -r- , ossia di r, 

 •^ dx dx 



e omraessi i termini contenenti e^, dovrà ridursi ad MJ' ; e le stesse pro- 

 prietà varranno per -j^^ , . . . t-^. Ma sostituite nell'equazione differenziale 



l'espressione di j- e le sue derivate, e fatte sparire le potenze di i-4-iY, e' 



dai denominatori, si otterrà un'equazione algebrica tra x ed e^ che dovrà 



Serie II. Tom. XXIII. *x 



