362 STUDI INTORNO AI CASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



verificarsi per identità non essendo e"^ funzione algebrica di x: quindi 

 si annullerà separatamente la somma dei termini che non conterranno e" 

 e che saranno gli stessi a cui si ridurrebbero i termini dell'equazione 

 differenziale sostituendovi semplicemente ^^=71/ . Dunque essa ammetterà 

 r integrale razionale j=.M^. 



Se poi N^ è =o, chiamata e*"^ la pivi alta potenza di e'' per cui 

 sia divisibile il denominatore di j , questo denominatore avrà la forma 

 N^e'"'(i — N.e''), e moltiplicando il numeratore e il denominatore per 



si ridurrà j alla forma 



intese come dianzi con N^ e M due funzioni razionali di x, con iV, 

 e iJ/j due funzioni razionali di j? e intere di e^, sol che 31, non dovrà 

 contenere la potenza e'"'. Sostituita questa espressione di j' e le sue 

 derivate nell'equazione differenziale, e moltiplicato tutto per 



si avrà un'equazione algebrica tra x ed e"^ che dovrà essere identica , 

 talché dovrà separatamente annullarsi la somma dei termini non con- 

 tenenti potenze positive, né potenze negative di e"". Ma fatto 



M^=M;—kM, , ]Y=(k-i-i)(N,'-i-N)N,'' , 

 si avrà 



tfj_ (i— iV'/ + 'e^^ + -^^)(y¥;-i-M',e-^")-l-iy,(M„H-M,e-*")e^*+'ì" 

 cix~ (i — i\^/+'e^*-*-->^7 



che è della stessa forma di j-, e che si riduce ad MJ come j- si riduce 

 ad M^ quando nel numeratore e nel denominatore si ommettono i ter- 

 mini contenenti potenze positive o negative di e''; e dovendosi dir Io 



ci y d Y 

 stesso di -~- , -r^,..., nella indicata equazione la parte indipendente 



da e^ ed e~^ sarà la medesima che si otterrebbe sostituendo j^M^ 

 nell'equazione differenziale. Adunque si avrà ancora un integrale razio- 

 nale j = M^. 



