EL JUEGO DEL NUDO GORDIANO 353 



se tiene : 



S ('I — %x~ — íc) = Ci + (C2 - Ci); a; + a;2 + a;3 ... + 



x"- ... x"-^ — (C„ + C„_i); CB" — aCai^-^i; 



y como Ci ^ 1 ; C2 ^ 2, 



S (1 — X — 2a;~) = 1 -\- x -\- x^ -{■ x^ . . . -\- x'' ... + ¡c" - ' — 



(C„ + 2C„_i) X"— 2C„cc"^\ 

 Pero 



1 +x -\- x^ -\- x^ . . . +«'■... + íc" ~ ' =^ ^» 



X — 'I 



_ a;" — 1 (C„ + 2C„_i) a;" + 2C„!b" + ^ 



^ — {x— \){\ —x — %x^ \—x — %x^ 



Si hacemos n = infinito ; es decir, si consideramos la suma de 

 los infinitos términos de dicha serie : como x es menor que la 

 unidad 



x^ _ J' = 0. 



Además I ^"""^7"-^^" 7-^""^ 1 = O ' 

 \ —X — 2aj^ J„ ^ „ 



' (C„ + 2C„-i)a;" +2C„a;"^ ^ 

 \ — X — 2aj^ 



por ser la serie convergente (1). Luego : 



s,.=.= -' 



{x — 1) (1 — %x^ — x) {x~ \) (2a;' + x — \) 



(1 — íc) (I —X — 2x^) 

 Pero las raíces de la ecuación : 



1 — a; — 2a;^ = O 



son — 'I y +5' 



(1) Siendo a; < 1 puede siempre suponerse suficientemente pequeño para que 

 la serie sea convergente. 



ANAL. SOC. CIENT. — T. XLIV. 23 



