EL JUEGO DEL NUDO GORDIANO 365 



de n maneras distintas, á saber : 1° bajar el primer anillo y lue- 

 go el (n + 1) ; 2° bajar los dos primeros y luego el (n -(- ^) : 4° . . . 

 bajar los n primeros y luego el 2n. 



Para saber cual de estas n maneras debe emplearse, basta divi- 

 dir por n el número de anillos del aparato y el residuo de la divi- 

 sión indicará el número de anillos que debe empezarse á bajar. 



Propongámonos ahora resolver el problema consistente en deter- 

 minar el número de movimientos de anillos (dea uno á la vez) 

 necesarios para desmontar un aparato de N anillos. 



Seguiremos el mismo orden ya indicado. Para bajar el anillo n, 

 hay que colocarlo en la segunda condición marcada, es decir, ba- 

 jar los (r — n) primeros anillos, luego el r, luego volver á subir 

 los (r — n), y finalmente, bajar los (?• — i) primeros. Luego : 



C,.= 2C,._„+ C,._i + 1. (a) 



Ahora bien, consideremos la serie : 



d; C.x; Cso;^; ...; C„a;"-'; C„_^ia!"; ...; C,.íb"-\ 



en que x < 1 



C,. — 2C, _ „ — C,. _ 1 — 1 = 0. 



Llamemos S la suma de los n primeros términos de esta serie; 

 y multipliquemos S por — xj por — aa;", tendremos, teniendo en 

 cuenta (a) y ((5). 



S(1 _a,._2ír") = 1 +aJ-^«^..-f a;^-i — [Ci, + Cn. _<.-!)] a'" - 



r _ ™N + 1 p „(N - 1) + n 



''N— (/¡-2) *'' • • • IjN'*' 



Y haciendo N = oo , siendo laserie recurrente convergente por 

 ser a? < 1, queda 



3,N 1 /I 



X — \ X — \ 



[Cn + Cn_(„_ dJíp^-Cn - (. - 2,a;^ ^1 - ... - Q.^x^'' ->> + -= O 



1 \ 



o —^ ! _- ! . 



{\ —x){\ —X —2a;") -1 — 2» + cc^ + <ix"- + 2»""^ ' 

 / = (1 _ 2íB + íB^ — 2a!" -f-2a;" + i)- i. 



