432 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



triangle, bissectrices, médianes, etc. , etc., impliquent ou se repré- 

 sentent dans le fini, quoique quelques-uns de ees faits géométri- 

 ques peuvent s'étendre indéfinimenl; pour les coraprendre et les 

 étudier il nous suffit de notre champ d'observation ; en arrivanl á 

 la théorie des paralléles la méthode change brusquement, on fait 

 intervenir l'infini, partant l'indéterminé ; l'expérience n'est plus 

 possible car notre champ de controle ne sert plus á rien, de sorte 

 que rigoureusement parlant, sauf des cas tres spéciaux, il n'y a 

 plus d'évidence possible. Cela n'arrive pas en définissant le paral- 

 lélisme par Féquidistance. 



Indiquer de qu'elle maniere la théorie des paralléles peut étre 

 presentée dans Tenseignement de la géométrie élémentaire eucli- 

 dienne, en prenant comme point de départ le nouveau postulat 

 indiqué, tel est l'objet de cette contribution. II est vrai que Fleury 

 Va deja fait, mais pour plusieurs raisons, son exposé laisse á dési- 

 rer; d'abord il est trop compliqué, grave défaut ; ensuite, il n'é- 

 nonce pas son postulat dans le texte, et finalement, dans sa préoccu- 

 pation de trouver faux le postulat d'Euclide, il omet de parler des 

 droites l'ixes coplanaires qui ne se rencontrent pas, de sorte qu'il 

 laisse vide dans sa géométrie tout ce qui se relationne avec ees sor- 

 tes de droites ; en un mot, il ne demontre pas l'équivalence du 

 postulat nouveau, avec celui d'Euclide ; or, il es juste d'observer a 

 ce sujet que, en partant du postulat du géométregrec, on demontre 

 que les droites qui ne se coupent pas sont equidistantes, done, in- 

 versement, en partant du nouveau postulat il y a intérét a démon- 

 trer que toute droite fixe qui ne coupe pas á une autre droite 

 égaleraent fixe située dans le méme plan, est nécessairement paral- 

 léle á celle-ci dans la nouvelle acceptíon du mot (c'est-á-direqu'el- 

 les sont equidistantes). Une fois la parfaite équivalence des deux 

 postuláis démontrée, il n'est plus nécessaire de remanier la partie 

 de la théorie des paralléles d'Euclide qui vient aprés cette de- 

 monslration. 



G'est un grand avantage, car le concept de droites fixes copla- 

 naires qui ne se coupent pas, étant sans contredit plus general que 

 celui de droites equidistantes, comme nous l'avons dit plus haut, 

 il y a tout intérét á ramener au plus tot, la théorie nouvelle á 

 l'ancienne. 



Dans notre exposé, nous avons justement completé et perfec- 

 tionné l'oeuvre de Fleury; comme l'on verra, c'est bien peu ce qu'ii 

 V a á remanier dans la théorie des paralléles pour la baser sur le 



