LA THÉORIE DES PARALLÉLES 133 



nouveau postulat; aussi, nous aimons a croire que les auteurs fu- 

 turs de textes de géométrie n'auront aucune raison sérieuse pour 

 ne pas accepter la reforme indiquée, surtout á une époque oíi l'é- 

 lude des postuláis fondamenlaux de la géométrie a été poussée si 

 a fond. 

 Ces explication données^ nous entrons en maliére. 



EXPOSE 



1 . L'expérience nous demontre que, étant donné deux droiles 

 fixes dans un plan, si l'on mesure les distances des points de Tune 

 des droites á l'aulre droite, et que i\)n constate que ces distances 

 commencenl a augmenter ou diminuer, elle continueront a varier 

 de la méme maniere, pourvu que l'on marche dans un méme 

 sens. On peut done établir : 



Postulat fundamental 



Dans un plan, une droite qui a commencé par s'eloigner d^u- 

 ne autre, ne peut pas ensuite s'en rapprocher, et reciproquement. 



Théoréme I 



D'aprés cela, considérons maintenantdeux droites a et 6 perpen- 

 diculaires á une troisiéme c; le segment MN de c compris en- 

 tre a et 6 indique évidemment la distance du point M a la droite b 

 et du point N a la droite a. Nous allons démontrer que la distance 

 d'un point quelconque A de Tune des droites, la a, par exemple, 

 á l'autre droite, distance que nous nommerons AB (fig. 1) est égale 

 a MN; eífectivement, supposons que AB ^ MN ; doublons la figure 

 autour de la droite c jusqu'á ce que la partie gauche du plan 

 vienne sur la partie droite, les droiles a el b étant perpendiculaires 

 á l'axe de rotalion, le point B viendra en B' le point A en A', de 

 telle maniere que l'on ait AM = A ' M ; BN = B 'N, la droite A 'B ' 

 étant perppiidiculaire, au point A', á la droite a,etdu moment que 

 l'on a aussi A'B' ^ MN, il en résulterait que la droite a, du point A 

 au point M aurait commencé par s'eloigner ou s'approcher de la 



