LA THÉORIE DES PARALLÉLES 



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Corollaire : deux droites b, c, paralléles á une troisiéme d sont 

 paralléles entre elles. 



Car, si Ton méne la droite m perpendiculaire a d, cetle droiteest, 

 en vertu du ihéoréme récemment demontre, perpendiculaire aux 

 droites b et c, done ees deux derniers sont paralléles (théoréme I). 



2. Le théoréme II precise le sens mathémathique du concept 

 d'équidistance de deux droites; le fait que les droites dites equi- 

 distantes aient leurs perpendiculaires communes, et égaux les seg- 



Figure 2 



ments de celles-ci compris entre les deux droites, justifie le nom 

 qu'on leur a donné. 



Théoréme III 



Deux droites fixes coplanaires qui ne peuvent se rencontrer si 

 loin qu'on les prolonge, sont nécessairement equidistantes. 



En eífet, supposons que les droites fixes a et 6 (fig. 2) ne puissent 

 se rencontrer si loin qu'on les prolonge, nousdisonsqu'ellesdoivent 

 étre equidistantes ; eífectivement, supposons qu'elles ne le fussent 

 pas, il y auraitalorsdeuxpoints AetBdeTuned'elles, la6,parexem- 

 ple, tels que les distances AD, BE, á l'autre droite seraient inéga- 

 les; supposons que AD > BE, alorsd'aprés le postulatfondamental, 

 si l'on prend unedistance EF = DE, et que Ton tire la perpendicu- 

 laire FG a la droite a, il faut que l'on ait EB > CF; done, si des 



