136 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



points B, C, on rnéne les perpendiculaire MP, CN aux droites paral- 

 leles AD, BE, CF (théoréme II) le point N tombera entre B et E, et 

 piiisque les droites MP et NC sont paralléles (théoréme I), on aura 

 aussi :BN==PC;maisBP=NC = EF = DE = MB; done les Irian- 

 gles BCN et BCP sont égaux (ils ont les trois coles respectivement 

 égaiix); done : angle BCN = angleCBP = angleABM. Lestriangles 

 réctangles ABM et BCN ayant un angle aigu et un c6té de l'angle 

 droit respectivement égaux, sont égaux, on en deduit que AM ^ 

 BN. La droite b s'approche done de la droite a, de quantités égales 

 AM, BN pour des distances égales DE, EF, prises sur la droite a, et 

 comme ees droites sont fixes elles finiront nécessairement par se 

 rencontrer. 



3. De ce théoréme il resulte que nos droites equidistantes ou 

 paralléles sont bien les droites paralléles telles comme on les dé- 

 finit ordinairement. 



La ihéorie des paralléles peut done se continuer comme le 

 fít Euclide, en donnant au mot paralléle le sens que lui donna ce- 

 lui-ci, a exception naturellement du postulat qui est maintenant 

 un théoréme a démontrer. Nousemploironsl'énoncé le plus simple. 



Théoréme IV 



Par un point, dans un plan, on ne peut tracer qu'une droite 

 paralléle cest-á-dire qui ne rencontre pas une autre droiie située 

 dans Ce méme plan. 



Soit le point P et la droite a (fig. 3). II est évident, tout d'abord, 

 que Fon peut mener par P une droite de cette espéce, car il suffit 

 de tirer la perpendiculaire 6 á la droite a puis la perpendiculaire c 

 á6par le méme point, les droiles aetc sont paralléles (théoréme I), 

 mais cette droite est unique, car d'aprés le théoréme II, une autre 

 droite quelconque qui remplirait cette condition devrait étre aussi 

 perpendiculaire a 6 au point P, mais cette perpendiculaire c est 

 unique, done le théoréme est demontre. 



CONSIDERATIONS FINALES 



La théorie basée sur le nouveau postulat comporte, en resume, un 

 théoréme de plus que la théorie ordinaire, c'est le théoréme III car 



