138 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 
sido objeto de estudios más numerosos en la Geometría del triángulo. 
Haciendo D = H (ortocentro) obtendremos la cónica cuyo centro 
es el complementario de H, ó sea el círeulo cireunscrito, lo cual está 
de acuerdo con el teorema de Simson. 
Para D = G (baricentro) el centro O coincide también con G. La 
cónica (YG) será, pues, la primera elipse de Steiner $. Por consiguiente : 
TEOREMA X. — Si de un punto cualquiera de la primera elipse de 
Steiner se trazan paralelas á las medianas del triángulo fundamental, y 
As, Bj, O, son las intersecciones de éstas con los lados correspondientes 
de dicho triángulo, A,, B,, O, estarán en línea recta. 
Para D = R, punto de Steiner = ete., la ecuación (2) da: 
a(b? — e, 
(UR) = Y abay(a? — 1?) = P, hipérbola de Kiepert. 
Luego : 
TEOREMA XI. — Si de un punto cualquiera de la hipérbola de Kie- 
pert se trazan paralelas á los lados del triángulo de Brocard, y A,, B,, 
B, son las intersecciones de estas con los lados correspondientes del 
triángulo fundamental, A, B,, O, estarán en línea recta. 
Queda demostrada también esta otra propiedad ya conocida : El 
centro de l' es el complementario de R. 
Las hipérbolas equiláteras circunscritas á ABO, pasan todas por 
H, como es sabido. Por consiguiente, (para A = 0) 
TEOREMA. XII. — La circunferencia ABC es el lugar de los direc- 
tores de todas las hipérbolas equiláteras circunscritas. 
Aplicando el teorema I, se ve inmediatamente que : Los centros de 
las hipérbolas equiláteras circunseritas están sobre la circunferencia de 
los nueve puntos, por ser esta la complementaria de la circunferencia 
ABC. (Proposición ya conocida). ' 
Los teoremas VI y X combinados prueban que los directores de las 
«cónicas cireunscritas que pasan por G están sobre la elipse $, y como 
la complementaria de esta es la segunda elipse de Steiner $ ', resulta 
que: 
TEOREMA XIII. — La segunda elipse de Steiner es el lugar de los 
centros de las cónicas circunseritas que pasan por G. 
Pero la hipérbola ' es equilátera y pasa por G. Luego su centro 
está á la vez sobre $ ' y sobre el círculo de los nueve puntos. 
Haciendo D = I, centro del círculo inscrito, se obtiene 
eo 
1) > 
(y) = 3 — E = 0 
0 
