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148 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 
TEOREMA XL. — Todas las cónicas inscritas que pasan por 1 y cuya 
directora es la polar de L, tienen su fundamental sobre (y). 
De este mismo principio el lector podrá deducir una serie de propie- 
dades interesantes, cuyo enunciado suprimimos para mayor brevedad. 
Veamos ahora algunas aplicaciones del teorema XXIX: la cónica 
complementaria del círculo circunscrito es el círculo de los nueve 
puntos, y la recíproca del círculo circunscrito es la recta de Lono- 
champs Y ax = 0. Por consiguiente : 
S 
TEOREMA XLI. — Cuando el centro de una cómica inscrita recorre el 
círculo de los nueve puntos, el punto de Gergonne recorre la recta de 
Longchamps, 
La recíproca y la complementaria de la primera elipse de Steiner 
son respectivamente la recta del infinito y la segunda elipse de Stel- 
ner. Luego: 
TEOREMA XLII. — Cuando el centro de una cónica imscrita recorre 
la segunda elipse de Steiner, el punto de GFergonne recorre la recta del 
infinito. 
Cuando el centro recorre una recta, el director de la cónica cir- 
cunscrita homocéntrica recorre otra y su recíproco recorre una cónica 
circunscrita. Luego : 
TEOREMA XLITI. — Cuando el centro de una cónica inscrita recorre 
una recta, el punto de Gergonne recorre una cónica circunscrita. 
TEOREMA XLIV. — Ouando el centro de una cónica inscrita recorre 
la complementaria de GK, el punto de Gergonne recorre la hipérbola de 
Kiepert. 
Cuando el punto de Gergonne GK, el punto director de la cónica 
circunscrita homocéntrica recorre la hipérbola de Kiepert. En otros 
términos : 
TEOREMA XLV. — Si una serie de cónicas circunscritas pasan por 
el punto de Steiner, los puntos de Gergonne de las cómicas inscritas ho- 
mocentricas recorren GK. 
Hemos dicho ya que la primera elipse de Steiner es la recíproca de 
la recta del infinito. Luego : 
TEOREMA XLVI. — Los puntos de Gergonne de todas las parábolas 
están sobre la primera elipse de Steiner. 
Innumerables son las proposiciones que se podrían deducir de los 
teoremas anteriores; no las enunciamos para no alargar desmesura- 
damente este estudio. : 
De la ecuación (10) se desprende la siguiente generalización del 
teorema XXIIT: 
