THEORIE DES FOYERS DANS LES SECTIONS OONIQUES 



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inent, le lieu de M evSt une conique qiii passe par O et P ; ses direc- 

 tions asymptotiques sont celles des axes de l'ellipse. 



Olí retrouve ainsi l'hyperbole conniie sous le nom d'hyperbole d'A- 

 liolloiiiiis, 011 hyperbole équilatére aux pieds des normales. 



Si le point P est sur un axe (fig. 5) l'hyperbole en question pas- 

 sant par O, P et le point a l'infini sur OP, se décompose en cette 

 droite OP et une autre perpendiculaire. 



Pour obtenir cette secoude droite. considérons les diagonales du 

 rectangle OABC, qui forment, comme on le sait, un systéme de di- 

 re(;tions conjuguées. En menant de P une perpendiculaire sur AB, 

 OH obtient en I, á l'intersection avec 00, un point de l'byperbole 

 d'Apollonius, qui se rédiiit ainsi á OP et IQ perpendiculaires. IQ 



rencontre l'ellipse en X et X ' , pieds des normales issues de P ; le 

 cercle de centre P et de rayón PIsT est bitangent a l'ellipse. Soit T le 

 point oü la tangente en íí rencontre OA. On voit que si l'on se donne 

 P, QN et par suite NT sont déterminées uniquement ; si l'on se donne 

 T, la polaire ííí«r ' et par suite ISTP est déterminée uniquement ; done 

 les points P et T se correspondent homographiquement. 



Si T s'éloigne a l'infini, P vient en O ; si P s'éloigne á l'infini, il 

 en est de méme de ÍSTIST ' ; le póle T de NN ' devient le pole de la 

 droite a l'infini, c'est á-dire le centre O. 



Conime les homologues des points á l'infini daiis les deux divisions 

 coincident, la correspondance homographique de P et T est involu- 

 tive. 



Les points doubles de l'involution sont ceux en lesquels P et T 

 sont confondus : or 



PÑ' = PQ . PT 



