BIBLIOGRAFÍA 275 



Efectuando las operaciones se obtienen los valores de /(x) correspondientes a 

 las variables a, a -\- h, a -\- 2h ... (a -\- nli), siendo el correspondiente a esta, 6. 



Si las derivadas de f{x) son limitadas, por grande que sea h, el resultado es 

 exacto ; i sólo aproximado si es indefinido el número de derivadas. 



Cuanto a los mímeros de Bernoulli, aunque aumentan rápidamente, el término 

 complementario resulta mui pequeño para valores de n poco considerables, i, por 

 ende, casi siempre despreciable. 



Por ejemplo : 



20! {-) 



= 0,00000 00000 00000 21749. 



Propónese el injeniero Legrand mostrar cuan vasto es el campo de las aplica- 

 ciones de la indicada fórmula de Eulero. Con este objeto divide las aplicaciones 

 en tres series : las que dan solución exacta en absoluto ; las aproximadas i las 

 averiguaciones de límites. 



Daré una aplicación, la primera, para aclarar esta bibliografía. 



Sumación de un jioUnomio de potencias enteras de x, para valores de x 

 en progresión aritmética 



Sea el polinomio 



?/ = X"' + «X'"' - 1 -(- &x'« - '^ + ... 



donde m es un entero cualquiera \ a, b, ... coeficientes numéricos. 



Averigüemos la suma de los valores de y correspondientes a los de la variable 

 P, P + 1h P + 2h, ... p + nh 

 donde h es un número finito cualquiera que debe satisfacer a la única condición 



p -f- nh = q 

 donde n es entero i g el líltimo término de la progresión. 



Apliquemos la fórmula de Eulero i se calculará la integral entre p \ q 



ni / r^m -f- 1 ax"^ ly¡m - 1 \ « 

 / í/fZx ^ I 1 I 



Jj, " \m -|- 1 m m — 1/p 



i luego las derivadas sucesivas, siendo las de orden impar las únicas que entran 

 en las fórmulas. Según que m sea par ó impar se irá respectivamente hasta la 

 derivada de orden m — 1 o m — 2. 



Sean 



Vp, Va, y'p, y'q, y"'p, y'" a, y^p, y^q, ••• 



los valores del polinomio i de sus derivadas impares correspondientes á los valo- 

 res extremos de j> i g' de la variable ; tendremos 



f ) Eecordamos que ! es el signo factorial. 



