LAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS 43 



de haberlo hecho girar, etc. Borel y otros autores definen la geometría 

 como el estudio del grupo de los movimientos, y aquél añade : «substi- 

 tuir cada vez más el estudio dinámico de los fenómenos a su estudio 

 estático es una tendencia bien marcada del espíritu moderno ; es la 

 idea de evolución que domina cada vez más el pensamiento contem- 

 poráneo». Otros autores consideran el grupo mixto formado por todos 

 los movimientos, todas las semejanzas y todas las simetrías, como fun- 

 damental de la geometría y les sirve para definirla (Klein); este con- 

 cepto, sin embargo, tiene menor alcance que el primero. 



El empleo de la transformación de figuras es la principal caracte- 

 rística del método moderno de geometría; ella y la introducción del 

 imaginarismo constituyen los dos factores preponderantes de su des- 

 arrollo en el siglo pasado y que le permitieron realizar un avance tan 

 marcado en ese lapso de tiempo. Empero, el segundo de esos facto- 

 res, aunque de importancia capital innegable, es, podría decirse, de 

 detalle; algo que faltaba para completar el edificio, el sistema; éste lo 

 constituye el método de la transformación de formas. Además este 

 sistema hace o, mejor dicho, presenta a la matemática pura como el 

 fundamento de la físico-matemática y por consiguiente de la física 

 y de la mecánica aplicada : el movimiento de los cuerpos, la trans- 

 formación de los sistemas, cinemáticos, químicos, biológicos, so- 

 ciales, he ahí en síntesis el problema llamado de evolución del uni- 

 verso. 



Transformar una figura es deducir por procedimientos bien deter- 

 minados otra figura, cuyos elementos guarden con los de la primera 

 una correspondencia bien definida y tal que de las propiedades de la 

 una puedan deducirse las propiedades de la otra. 



En una primera clasificación pueden dividirse las transformaciones 

 en dos grandes categorías : en la primera, la correspondencia entre 

 figuras o cuerpos es de elemento a elemento : puntos con puntos, rec- 

 tas con rectas, etc. Ejemplo, los mapas geográficos, en los qae a cada 

 punto del globo terrestre se hace corresponder un punto del plano, a 

 cada línea (ríos, vías férreas) una línea del plano. En la segunda ca- 

 tegoría la transformación se efectúa entre elementos o conjuntos de 

 elementos (conjuntos que a su vez son elementos de otra especie) : a 

 un punto puede corresponder ya otro punto, ya una superficie; a un 

 plano, una recta; a una curva de tercer orden, una superficie de quinto, 

 un complejo, una congruencia, etc. Las de la iiri mera categoría se lla- 

 man ímíis/o?-?HacioMÉ;s j;imíMa/e,s y la más antigua de ellas es lajero- 



