LAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS 49 



ponde un solo punto (xyz), la transformación es doblemente racional 

 o hirracional. Como se ve este tij)o abarca las transformaciones li- 

 neales (o proyectivas) y las cuadráticas. 



Pero el amplio horizonte abierto a la matemática con los notables 

 adelantos ocurridos a mediados del siglo pasado debía también mani- 

 festarse en la rama que tratamos y, en efecto, no tardaron en crearse 

 elementos nuevos, y nuevos tipos de transformaciones, encarándose el 

 problema de la correspondencia de formas de la manera más general, 

 relacionando, por ejemplo, los entes geométricos que dependen de un 

 mismo número de parámetros : los círculos de un plano y los puntos 

 del espacio; la rectas y las esferas; etc. Los elementos primitivos pue- 

 den ahora ser otros que el punto, la recta y el plano, para poder esta- 

 blecer una asociación de formas, y fué el genio de Sophus Lie el que 

 «reo el elemento más simple, que había de dar lugar, j)or lo tanto, a 

 la transformación más general : el llamado elemento de contacto, o es- 

 <;ama y que i^odría designarse también con el nombre más intuitivo de 

 jnmto orientado : es el punto con un elemento de plano que pasa por 

 él; ente, por lo tanto, bien distinto del mismo juinto pero con el ele- 

 mento de plano en otra posición. Las curvas, las superficies, ya no son 

 simples infinidades del punto común (concepto corriente) : son múlti- 

 2)les infinidades, o como se dice mtiltipUcidades o variedades del ele- 

 mento de contacto. En base a este concepto es que Lie introdujo la 

 noción general de transformación de contacto, que podría definirse 

 diciendo que, por medio de ella, curvas o superficies tangentes se trans- 

 forman en curvas o superficies tangentes, y, por lo tanto, al punto de 

 contacto de una curva o superficie con un plano corresponden curvas 

 o superficies con planos tangentes en uno o varios puntos (según la 

 transformación sea biunívoca o no). 



En otra forma : por una transformación de contacto a todas las va- 

 riedades que admiten un cierto elemento de contacto común, corres- 

 ponden variedades a las cuales pertenecen uno o varios elementos de 

 contacto fijos. Todas las variedades que correspo7iden así a]os diversos 

 puntos del espacio y dei)enden por consiguiente de tres parámetros 

 forman uu complejo y si sólo se consideran los que corresponden a los 

 puntos de una cierta superficie, se tiene una cowí/rííencía (nombres que 

 son extensiones de los de complejo de rectas y congruencia de rectas, 

 usados por Plücker en su concepción del espacio como variedad de 4 

 dimensiones espacio reglado). Para las transformaciones de contacto, 

 como el plano que pasa por un punto x, y, z, tiene por ecuación general 



J9 (flc — a?') + <Z (y — y') + (^ — s') = O 



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