FÜNZIONI DI LINEE 



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Bisognava, prima di tutto, che estendessi il concetto della deriva- 

 zione alie nuove funzioni. 



Poiclié una fiinzione di n variabili lia n derivate parziali, una fun- 

 zione di un numero infinito di variabili deve ori- 

 ginare un numero infinito di derivate parziali. 

 Infatti, consideriamo una linea L avente per equa- 

 zione 2/ =/(íc); una linea poligonale inscritta 1, 

 2, 3, 4....n. 



Le n ordinate dei vertici siano y¡, y^ ... í/„. 



Si ha da principio una funzione F {y¡, y.-¡ ... y.„). 



Se gi'intervalli h¡, h¡, ..., decrescpno indefinita- 

 mente, mentre il loro número cresce indefinitamente, la linea poligo- 

 nale tende verso la curva e la funzione F delle n variabili tende verso 

 una funzione della linea L, cioé verso una quantitá che dipende da 

 tutti i valori della funzione y =f{x). Noi la indicheremo con 



E'ig. 1 



^ f X 



í> L 



oppure con 



essendo ab l'intervallo in cui la funzione /(¿c) é definita. 



Per calcolare le 7i derivate parziali di F si cambia ogni variabile 

 yi separatamente e si calcóla il rapporto della variazione di F e del- 

 l'accrescimento di yi. II limite di questo rapporto é la derivata par- 

 ziale 



3F 



yi{yi,yi-yn) = \ 



IsTella stessa maniera, supponendo sempre continua la funzione/, 

 «ambiamo la curva L in un intorno li del punto ^ da una parte della 

 curva primitiva e supponiamo che i cambiamenti 

 delle ordinate siano piíi piccoli di e, 



Calcoliamo ora il rapporto della variazione di 

 $ e delParea C7, compresa tra la curva primitiva 

 e la curva deformata. 



Supponendo che il rapporto tra la variazione 

 Fig. 2 di <I> e Parea a compresa fra la curva primitiva e. 



la curva cambiata, abbia un limite, facendo di- 

 minuiré indipendentemente h e s, si dirá che questo limite é la de- 

 rivata di <I> per rapporto a/nel punto c. 



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