PCNZIONI DI LINEE 41 



Ma se da una parte ha servito alia solnzione di molti problemi, dal- 

 l'altra, per il suo sviluppo, ha condotto a proporne altri e a generare 

 una nueva classe di quistioni. 



II fondamento della teoria delle funzioni permutabili consiste nel- 

 l'operazione di composizione, e Vi sonó due specie di composizioni : 



\Íf{x,^)<.(l,y)(l%, (90 



si dice una composizione di prima specie. 



\f{x;^^{%y)d% (9") 



si dice una composizione di seconda specie. 



Ora/ e o sonó permutabili di prima specie se l'espressione (9') non 

 cambia sostituendola con l'altra 



e sonó permutabili di seconda specie se l'espressione (9") é uguale a 



Le operazioni di composizione sonó associative, e. se le funzioni 

 sonó permutabili, anche permutative. Somme di funzioni permutabili 

 sonó permutabili. Se si opera la composizione su funzioni uguali si 

 ottengono funzioni che si possono chiamare potenze di composizione. 



I due teoremi fondamentali sonó i seguenti : 



Se in una serie di potenze di una variabile, convergente in un certo 

 campo, si moltiplica ogni potenza della variabile per la j)otenza di 

 composizione córrispondente, della prima specie d'una funzione finita, 

 si trova sempre una funzione intera. 



' Se in una serie d'una variabile, che é il rapporto di due funzioni 

 intere, si moltiplica ogni potenza per la potenza di composizione có- 

 rrispondente di seconda specie di una funzione finita, si trova sempre 

 il rapporto di due funzioni intere. 



Su questi due teoremi e sulla loro generalizzazione, si puo far ba- 

 sare la soluzione dell'equazioni integrali lineare e delle equazioni in- 

 tegro-differenziali lineari. 



