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quedauílo así diviilidí) el tomo en dos partes. Se me lia objetado qiu' tal divi- 

 sión, si bien eueoininble por sti franqueza lógica, implica <lar al postulado de 

 Euolides una importaneia demasiado considerable, siendo así que es un postulado 

 como cualquier otro. Indudablemente, la geonuítría esclTisivameute racional está 

 basada eu nociones fnndamentalets, por medio de las cuales todas las otras pueden 

 ser cüusta'uídas por simples definiciones lógicas y eu axiovkax que expresan ciertas 

 propiedades de aquellas nociones, de suerte que toda imagen sensoria queda eli- 

 minada., y no hay por qué atribuir á un axicmia mayor importancia que á otro. 

 Tales son los sistemas de Hilbert, Padoa, Minkowski, Hamel. Pero la cuestión 

 cambia cuando se estudia, no el tema de los fundamentos ó princijnos analítieos de 

 la Geometría abstracta sino la geometría especial de nuestro espacio con un fin 

 pedagógico. Poincaré dice á ese respecpecto : « Este libro (se refiere al citado 

 de Hilbert) debuta de la siguiente manera : « Pensemos tres sistemas de objetos 

 « qvie llamaremos puntos, rectas y planos ¿Qué objetos son estos? No lo sabemos 

 « ni tenemos por qué saberlo; míís aún, no conviene buscar lo que son ; todo lo 

 « que tenemos derecbo á saber de ellos es lo que nos enseñan los axiomas... He 

 « aquí un libro del cual tengo la mejor opinión pero que me guardaría de reco- 

 « mendar á los alumnos de los liceos ». 



« Tratándose de la geometría de nuestro espacio la distinción especial del po.stu- 

 lado de Euclides está justificada por la importancia histórica de este postulado y 

 por el número considerable de proiiosioiones elementales que derivan de él, así 

 como por su va.sta aplicación eu la práctica. 



« Después de publicado el primer tomo de esta, obra, he tenido oportunidad de 

 conocer el excelente texto de Enriques y Amaldi en el que los autores han 

 separado también las proposiciones derivadas del postulado de las paralelas de 

 los demás, independientes de' él. El método seguido por estos autores es parecido 

 al nuestro, ambos tienden á separar netamente, en el estudio geométrico del es- 

 pacio en que nos encontramos, la j)arte empírica y la parte puramente de lógica. 

 Las observaciones experimentales preceden y se condensan en forma de postula- 

 dos, y luego, de éstas, por el raciocinio, se desprenden los teoremas. De ahí la 

 naturaleza física de los postulados. 



« Así como en geometría plana la teoría de la circunferencia, es en gran parte, la 

 repetición de la de los triángulos, en la del espacio, la teoría de la superficie es- 

 férica es una repetición de la. de las rectas y planos perpendiculares ú oblicuos, 

 y por lo tanto deben estudiarse simultáneamente. Alguien ha objetado que este 

 sistema tiene el inoouvemente de fraccionar la teoría de la cii'cunferencia, de la 

 esfera, etc., en vez de presentarla en un todo homogéneo. Contesto que el enca- 

 denamiento lógico de las proposiciones es más funda-mental que la agrupación 

 arbitraria de las mismas en base á una línea, superficie ó cuerpo determinado, y 

 que esta tarea está, por otra parte, realizada en nuestro texto en los resúmenes 

 que figuran al final de cada libro. 



El ángulo diedro ha sido definido de una manera análoga al ángulo rectilí- 

 neo ; los enunciados y demostraciones de los teoremas han sido revisados con 

 esmero á fin de que sean lo más correctos posibles; sobre este particular se notan, 

 en la generalidad de los textos usuales, bastante negligencia. 



La geometría de la radiación y Ja esférica tienen sus postulados fundamenta- 

 les análogos á la geometría plana, con excepción del postulado que establece que 

 la línea recta es abierta y del de las paralelas. Luego, demostrada esta analogía 



