NOTA SOBRE LAS CUEVAS DE TERCER GRADO 



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Ecuación que es de segundo grado con relación á (*,3/.,), luego : 



La transformada de una recta es una cónica. 



3. Curva que goza de la propiedad de dar la misma transformada 

 con dos sistemas transformadores que tengan un elemento común. — 

 Para mayor comodidad llamaremos á esta curva, triangular. 



Sean los dos sistemas transformadores (A, B) y (B, C). Los tres 

 elementos A, B y C nos darán las eciraciones 



y, V,, + X, Q„ + R, = O \ 

 y, P, + X, Q, + E, z= O ' 



(8) 



Para que estas ecuaciones sean comj)atibles es necesario que se 

 tenga 



EaQaPal 



Rt, Qb Pb = o (9) 



R, Q, P, ! 



Desarrollando esta determinante nos resultará xma ecuación de 

 tercer grado en {oo,y,,), luego pues, la curva que buscamos es de ter- 

 cer grado. Su ecuación será de la forma: 



M^x^ + M.,x-y + M.^xy- + M^xy + M.jf + 

 + M,y- + M,*- + M,x + M<,2/ + M,„ = O 



(10) 



Haciendo en la determinante (9), {y., = O, «^ ^ 0) y teniendo en 

 cuenta las formulas (2) tendremos 



tg A (,»-„ + 2/-„), {y„ — x^ tg A), {x^ + y„ tg A) 

 tg B {x\ + y\), [y^ — x^ tgB), {x,, -\- y^ tg B) 

 tg G ix\ + y',), {y. — x, tg C), {x, + y, tg C) 



:M,„ (11) 



Siendo X función de «,, ¿c^, 

 para abreviar 



•> *'» ) 2/1 íli *2 ■■• Vn 6tc., designaremos 



<ZX , fZX 



7- + T- + 



dx. dx. 



dx,. dx 



El efecto de cambiar el origen de los ejes coordenados sin variar 

 sus direcciones, es el mismo que dar á cada uno de los puntos a, b 

 y c un movimiento de igual magnitud y sentido contrario al del ori- 

 gen. Se debe tener, pues : 



