NOTA. SOBRE LAS CURTAS DE TERCER GRADO 183 



La condición á que deben satisfacer estas siete funciones de las 

 nueve variables independientes, x^, x,,, x^., ya Vb Vo tg ^^ *§' B, 

 tg C, para que se las pueda considerar independientes entre sí, es 

 que uno cualquiera de los tres jacobianos que resultan, no sea idén- 

 ticamente nulo. Pero el empleo de ese método es demasiado pesado, 

 dada la naturaleza de las ftinciones que nos ocupa. 



Por lo demás, parece ser riguroso el siguiente procedimiento : 



a) Las variables M,, M,, M^ y Mg — M„ son independientes entre 

 sí. En efecto con sólo llevar el origen á un punto que tenga por coor- 

 dinadas (i/ = 6, a? =: — «), tendremos que Mj, M^ habrán permanecido 

 invariables y M,. — M, habrá variado, en 2 {KJb — M//) y M^ 

 habrá variado en 2 [M/t -|- M^fi], cantidades ambas independientes 

 absolutas; además M¡ y M, son independientes entre sí, de lo cual 

 s asegura j)or la sola inspección de las fórmulas (13). 



h) Para el caso particular en que 



M,=0 M, =ü M,, — M, = 0, M, = 



la ecuación (14) representa un círculo, y esta condición impone 

 tg A = tg B = tg C ; entonces M^, Mg, Mg y Mm son variables 

 independientes entre sí, por ser cualquier circulo engendrable del 

 modo indicado. 



c) Si para este caso sólo hacemos variar las *■ é í/, solo las tres 

 variables Mg, Mg y Mj^, variarán. Sean estas variaciones 



Siendo o,, la variación de M,., tendremos que entre las cuatro 

 variaciones: 3,., o^, Og y 3,g no debe existir ninguna relación, puesto 

 que cualquier círculo es engendrable del modo indicado. 



Si hacemos variar tg B y tg C, las siete variables variarán. Sean 

 estas variaciones 



Las variaciones totales serán pues 



=iS 2,', o,,' — o,', o',,, Oj + Os ', Og + Sg', Oi„ -f- 3,0 ' 



Las cuatro primeras variaciones deben ser independientes entre 

 sí, como lo demostramos anteriormente, h). Las tres viltimas también 

 son variables independientes entre sí, cj, y por la misma causa inde- 

 l^endientes de las cuatro i^rimeras, hiego: las siete variaciones son 



