312 AUDRÉS TILLÁ7A9A. 



caso iiídicado por la fig. 8 en que el polo es externo á la figu- 

 ra cuya área se quiere medir, se multiplica por O ó se reduce á 

 cero la suma algebraica de los factores análogos á s, cuando el 

 brazo ^ ha vuelto á su posición inicial. Así es que Yi s — 0, por lo 

 cual el valor correspondiente do S será solo S = ilp y el va- 

 lor de ja se reducirá á /^ = S h; multiplicando ambos miembros 

 por la constante r: r ¡i = 2 rh, y como rh=p, resulta final- 

 mente r/x = Hp = S. 



Lo que quiere decir que cuando el polo es exterior la su- 

 perficie de la figura es igual á un rectángulo de la base cons- 

 tante é igual á r y cuya altura es el arco desarrollado en la su- 

 perficie del tambor contador D. 



Cuando se está en el caso de que el polo se encuentre den- 

 tro del perímetro de la figura que se ha de cuadrar (figura 10) 

 el punto C de la recta CJP tendrá que recorrer forzosamente 

 una circunferencia de centro E j de radio R para volver ásu 

 posición inicial. Las curvas descintas por CF, de las cuales la 

 primera es una circunferencia de radio R, y la segunda es el 

 contomo de la figura en cuestión, comprenden una parte de 

 la superficie propuesta, cuya expresión será como antes: 

 2 j9 + 2 s. La otra parte será la superficie del círculo de radio 

 R ó TT R-; así es que, siendo S la superficie propuesta tendre- 

 mos 5-— tt iü^ = 2 j? -f 2 s. 



La-ecuación anterior subsiste en el caso que se intei'sequen 

 la circunferencia describa por C y el perímetro de la figura, 

 como se ve en la fig. 9 



En estos casos 2s = nr-, y S — TzR^ = T:r' -f ^p (a) 



además la expresión '^ p (p, al terminar la vuelta completa, se 

 reduce á 2 tt jo , de modo que: 



/ji = 2 /i -f- 2 TT /) , multiplicando por r 

 se tiene; r ,a = ^2^ ~^ ^^'^P'i ^^ donde se obtiene; 



^p = r/i — 2r pT:; que substituida en (a) nos da: 

 S — t: R"^ = t: r- -\- r ¡j. — 2r pit 



