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Essais df psychologie et de métaphysique positives. Essai 

 de Géométrie analytiqne modulaire a deux aimensions pMi- Ga- 

 briel Aruoux, Ancien oñii-ier de Marine. Libruirie Gauihhr- 

 ViUars, quai des Grands-Aug'istins, 55, Paris (6*). — In-8 (25- 

 16) de xii-160 pages avec 40 figures; 191]. 6 fr. 



Dans notre deriiier Volume: Les espaces arithmétiques, leiirs traiis- 

 foiTn; tions, nous indiquions (p. 30-31), á propos des espaces illimités, les 

 cousidérations qui tendent a établir un lien entre la science des grandeurs 

 et celle de l'étendue, alors méme qu'il s'ag:it de grandeurs discontinúes. 

 De la, disions-iipus. la possibilité d'entrevoir la constitution d'une '-Géo- 

 métrie analytique arithmétique,'* dans laquelle les ressources de 1' Algebre, 

 de rArithniétique et de la Géométrie, se prétant un appui mutuel par une 

 combinaison judicieuse, arriveraient sans doute á faire découvrir des re- 

 sultáis nouveaux et feraient ainsi progresser la Science. 



Loin de nous la pensée d'édifier ce monument; nous ne prétendons 

 méme pas en dessiuer les fondations, comprenant trop bien ladifficulté de 

 la tache. Mais 11 nous a sembló qu'avaut d'en arrivtr aTétude systémati- 

 que des espaces illimités, comprise comme nous venons de le rappeler. il 

 pourrait étre intéressant d'entreprendre une étude plus abordable, plus 

 modeste, et aussi d'un caractéi'e plus spécialement arithmétique; c'est cel- 

 le des espaces modulaires a deux dimensions. La toutes les difficultés re- 

 latives a la consideratiou de l'infini s'évanouissent. On reste dans \\r\ do- 

 main strictement limité, les égalités se transí'orment en congi'uences; et 

 les calculs en fin de compte s'effectuent toujours sur des npmbres entiers. 

 Pour simplifier plus encoré, et pour arriver á plus de préci*ion, nous nous 

 confinons rigoureusement dans la considération des modules premiers. On 

 reconnaitra que, méme dans ees limites, il reste encoré vm champ d'études 

 assez étendu; et Ton verra peut-étre avec intérét corabien certaines pro- 

 priétés subissent des modifications profondes suivant que le module est un 

 múltiple de 4 plus un, ou un múltiple de 4 moins un. 



L'emploi systématique du calcul que nous tentons aujourd'liui pour 

 l'étude des figures qui se présentent dans ime espace modulaire repose sur 

 les considérations produites déjá dans nos precedente Volumes, auxquelles 

 il y a lieu de se repórter fréquemment. Nous ne pouvons. en effet, repren- 

 dre depuis l'origine l'exposé des principes qui régissent toute cette théorie. 

 Pour ceux-la mémes qui nous auraient suivi jusqu'ici. nous ne nous dissi- 

 mulons pas le sentiment de surprise qu'ils pourront éprouver en face de 

 certains résultats, notamment, dans la considération des angles. S'ils veu- 

 lent bien y mettre cependant un peu d'attention et de patience, lis ne tar- 



